Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 7 :
Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

< Chapitre précédent : Système linéaire
Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Définition : Espace vectoriel

Un ensemble `E` est un espace vectoriel s'il vérifie les propriétés suivantes:

`E` est commutatif :

  • `AA(u,v)inE^2`, `u+vinE`

  • `AA(u,v)inE^2`, `u+v=v+u`

  • `AA(u,v,w)inE^3`, `(u+v)+w=u+(v+w)`

  • `EE0_E` tel que `AAuinE`, `u+0_E=0_E+u=u`

  • `AAuinE`, `EEvinE`, tel que `u+v=v+u=0-E` et on note `v=-u`

L'opération `*` vérifie :

  • `AAlambdainRR`, `AAuinE`, `lambda*uinE`

  • `AA(lambda,nu)inRR^2`, `AAuinE`, `lambda*(nu*u)=(lambda*nu)*u`

  • `AAuinE`, `1*u=u`

  • `(lambda,nu)inRR^2`, `AAuinE`, `(lambda+nu)*u=lambda*u+nu*u`

  • `AAlambdainRR`, `AA(u,v)inE^2`, `lambda*(u+v)=lambda*u+lambda*v`

Définition : Combinaison linéaire

Soit `(v_1, v_2, ..., v_n)`, une famille de vecteurs d'un espace vectoriel `E`. Une combinaison linéaire est un vecteur de la forme :

`sum_(i=1)^nlambda_i*v_i``AAiin[1,n],`, `i` entier, `lambda_iinRR`

Définition : Sous-espace vectoriel

Soit `E` un espace vectoriel réel et `F` un ensemble. On dit que `F` est un sous-espace vectoriel de `E` si :

  • `F` est un sous-ensemble de `E`
  • `F` est non vide (`F` contient au moins le vecteur nul)
  • `AA(u,v)inF^2`, `u+vinF`
  • `AAuinF` et `AAlambdainRR`, `lambda*uinF`
Définition : Famille libre

Soit `E` un espace vectoriel réel. Une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est dite libre si :

`EE(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)inRR^n` tels que `sum_(i=1)^nlambda_i*v_i=0` `iff` `AAiin[1,n]`, `i` entier `lambda_i=0`

Définition : Famille génératrice

Soit `E` un espace vectoriel réel. Une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est dite génératrice si :

`AAuinE`, `EE(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)` tels que `u=sum_(i=1)^nlambda_iv_i`

Définition : Base

Soit `E` un espace vectoriel. Une base de `E` est une famille à la fois libre et génératrice de `E`. En d'autres termes, une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est une base de `E` si :

`AAuinE`, `EE!(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)` tels que `u=sum_(i=1)^nlambda_iv_i`

Définition : Sous-espace vectoriel engendré

Soit `E` un espace vectoriel et `B=(u_1, ..., u_n)` une famille de vecteurs de `E`. On note vect(`u_1, ...,u_n`) le sous-espace vectoriel de `E` dont la famille `B` est une base et on l'appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille `B`.

Chapitre suivant : Vocabulaire sur #RR# et exemples de suites réelles >