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Chapitre 8 :
Vocabulaire sur `RR` et exemples de suites réelles

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Vocabulaire sur `RR` et exemples de suites réelles
I

Vocabulaire sur l'ensemble `RR` des nombres réels

Définition : Valeur absolue

La fonction valeur absolue `x->|x|` est définie sur `RR` par `AA x inRR` :

  • `|x|=x` si `x>=0`

  • `|x|=-x` si `x<0`

Théorème : Propriétés de la fonction valeur absolue

`AA x inRR` :

  • `|x|>=0`

  • `|x|=0 iff x=0`

  • `|x+y|<=|x|+|y|` ( inégalité triangulaire )

  • `|x|=|-x|`

  • `|xy|=|x|*|y|`

  • si `y!=0`, `|x/y|=|x|/|y|`

Par ailleurs :

  • `|x-y|` est la distance sur la droite réelle entre `x` et `y`.

  • Pour `k` réel strictement positif, `|x|<=k` `iff` `-k<=x<=k`

  • `|x+y|!=|x|+|y|` en général

Définition : Majorant, minorant, minimum, maximum et bornes

Soit `AsubRR` :

  • `M` est un majorant de `A` ssi `AAx in A`, `x<=M`

  • `m` est un minorant de `A` ssi `AAx in A`, `x>=m`

  • `M_A` est le maximum de l'ensemble `A` ssi `M_A in A` et `AAx in A`, `x<=M_A`

  • `m_a` est le minimum de l'ensemble `A` ssi `m_A in A` et `AA x in A`, `x>=m_A`

  • La borne supérieure de `A` notée sup`A` est le plus petit des majorants de `A` dans `RR`. La borne supérieur de `A` correspond au maximum de `A` s'il existe.

  • La borne inférieure de `A` notée inf`A` est le plus grand des minorants de `A` dans `RR`. La borne inférieure de `A` correspond au minimum de `A` s'il existe.

Théorème : Borne supérieure

Soit `A` une partie non vide de `RR` et soit `binRR`, alors :

  • `b` = sup `A` `iff` `b` est un majorant de `A` et il existe une suite `(x_n)` à valeurs dans `A` convergente vers `b`.

  • `b` = inf `A` `iff` `b` est un minorant de `A` et il existe une suite `(x_n)` à valeurs dans `A` convergente vers `b`.

Définition : Partie entière

La partie entière d'un réel `x`, notée `Ent(x)` ou `|__x__|` est définie par :

`AA x inRR`, `|__x__|=k` `iff` `kinZZ` et `k<=x<k+1`

Remarque

Continuité de la fonction partie entière

La fonction partie entière est continue à droite en tout point de `RR` mais elle n'est pas continue à gauche `AAkinZZ`.

II

Exemples de suites réelles

A

Suites arithmético-géométriques

Définition : Suites arithmético-géométriques

La suite `u` est arithmético-géométrique s'il existe un nombre réel `ainRR-{0,1}` et `binRR-{0}` tels que :

`AAninNN`, `u_(n+1)=a*u_n+b`

Méthode

Obtenir le terme général d'une suite arithmético-géométrique

Soient `a` un réel différent de 0 et de 1, `b` un réel non nul et `u` une suite arithmético-géométrique définie par :

`AAninNN`, `u_(n+1)=a*u_n+b`

Alors il existe un nombre réel `alpha` tel que la suite `v` définie par `AAninNN`, `v_n=u_n-alpha` soit une suite géométrique de raison `alpha`.

Le nombre `alpha` est l'unique solution de l'équation `x=ax+b`, appelée point fixe.

Il est donc facile de déterminer le terme général de la suite `v`, parce qu'elle est géométrique, puis en déduire celui de la suite `u`.

B

Suites récurrentes linéraires d'ordre 2

Définition : Suites récurrentes linéraires d'ordre 2

La suite `u` est récurrente linéaire d'ordre 2 signifie qu'il existe deux nombres réels non nuls `a` et `b` tels que :

`AAninNN`, `u_(n+2)=a*u_(n+1)+b*u_n`

Méthode

Obtenir le terme général d'une suite récurrentes linéaires d'ordre 2

Pour obtenir le terme général, on résout dans `RR` l'équation caractéristique `x^2-ax-b=0`.

On calcule le discriminant `Delta` :

  • Si `Delta>0`, l'équation admet deux solutions `q_1` et `q_2` et il existe deux réels `mu` et `nu` tels que `AAninNN`, `u_n=mu*q_1^n+nu*q_2^n`

  • Si `Delta=0`, l'équation admet une solution `q` et il existe deux réels `mu` et `nu` tels que `AAninNN`, `u_n=(mu+nu*n)*q^n`.

Il reste ensuite à déterminer `mu` et `nu` en utilisant deux des termes connus, le plus souvent `u_0` et `u_1`.

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