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Chapitre 9 :
Convergences des suites réelles - Théorèmes fondamentaux

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Convergences des suites réelles - Théorèmes fondamentaux
Définition : Suite convergente

Une suite `u` est convergente vers une limite réelle `l` si `u_n` est aussi proche que l'on veut de `l` dès que `n` est suffisamment grand. En d'autres termes, `u` est convergente si :

`AAepsilon>0, EEn_0inNN`, tel que `AAn>=n_o`, `|u_n_l|<epsilon`

Définition : Suite divergente

Une suite divergente est une suite que ne converge pas.

Définition : Suite divergente vers l'infini

Une suite `u` diverge vers `+oo` (ou `-oo`) si `u_n` est aussi grand (ou aussi petit) que l'on veut dès que `n` est suffisamment grand, ce qui s'écrit :

`AAAinRR`, `EEn_0inNN` tel que `AAn>=n_0`, `u_n>A` (ou `<A`).

Théorème : Unicité de la limite

Une suite n'admet qu'une unique limite `l`.

Théorème : Généralité sur les suites

Soient `u` et `v` deux suites réels telles que `u_n>=v_n` à partir d'un certain rang. Alors :

  • Si les suites `u` et `v` convergent respectivement vers `l` et `l'` alors `l>=l'`

  • Si la suite `v` diverge vers `+oo` alors `u` diverge vers `+oo`

  • Si la suite `u` diverge vers `-oo` alors `v` diverge vers `-oo`

Théorème : Théorème d'encadrement ou théorème des gendarmes

Soient `u`, `v` et `w` trois suites telles que :

  • `u_n<=v_n<=w_n` à partir d'un certain rang

  • Les suites `u` et `w` convergent vers une même limite `l`

Alors `v` converge aussi vers `l`.

Théorème : Suite convergente bornée

Toute suite convergente est bornée.

Théorème : Limites de suites monotones
  • Toute suite croissante et majorée par `M` converge vers une limite `l` avec `l<=M` et `l` est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs prise par la suite.

  • Toute suite décroissante et minorée par `m` converge vers une limite `l` avec `l>=m` et `l` est la borne inférieure de l'ensemble des valeurs prises par la suite.

  • Toute suite croissante non majorée tend vers `+oo`.

  • Toute suite décroissante non minorée tend vers `-oo`.

Définition : Suites adjacentes

Les suites `u` et `v` sont adjacentes si :

  • La suite `u` est croissante

  • La suite `v` est décroissante

  • La suite `u-v` converge vers 0

Théorème : Théorèmes des suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

Théorème : Croissances comparées
  1. `AAalphainRR^+`, `AAqin]-1,1[`, `lim_(n->+oo)n^alphaq^n->0`

  2. `AAqinRR`, `lim_(n->+oo)q^n/(n!)->0`

  3. `AAalphainRR^+`, `AAbinRR^+`, `lim_(n->+oo)(ln(n))^b/n^alpha->0`

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