Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 10 :
Limite et continuité d'une fonction d'une variable en un point

< Chapitre précédent : Convergences des suites réelles - Théorèmes fondamentaux
Limite et continuité d'une fonction d'une variable en un point
Définition : Limite finie

La fonction `f` admet pour limite `linRR` en `x_0` si :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`

Définition : Limite infinie
  • `f` possède `+oo` pour limite en `x_0` si :

`AAAinRR`, `EEalpha>0` tel que (`AAx in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `f(x)>=A`.

  • `f` possède `-oo` pour limite en `x_0` si :

`AAAinRR`, `EEalpha>0` tel que (`AAx in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `f(x)<=A`.

Définition : Continuité d'une fonction
  • `f` est continue en `x_0` si :

`lim_(x=>x_0)f(x)=f(x_0)`

  • `f` est continue à droite en `x_0` si :

`lim_(x=>x_0^+)f(x)=f(x_0)`

  • `f` est continue à gauche en `x_0` si :

`lim_(x=>x_0^-)f(x)=f(x_0)`

Théorème : Unicité de la limite

La limite d'une fonction en un point, en `-oo` ou en `-oo` est unique.

Définition : Limite à gauche et limite à droite

Limite à gauche : mêmes définitions en ajoutant la condition `x<x_0`.

Ainsi, la fonction `f` admet pour limite à gauche `linRR` en `x_0` si :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I`, `|x-x_0|<alpha` et `x<x_0`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`

Limite à droite : mêmes définitions mais en ajoutant la condition `x>x_0`.

Ainsi, la fonction `f` admet pour limite à droite `linRR` en `x_0` si :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I`, `|x-x_0|<alpha` et `x>x_0`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`


Théorème : Théorèmes de comparaisons des limites

Soient `f,g` deux fonctions définies sur un intervalle `I` sauf éventuellement en `x_0` et possédant une limite en `x_0`.

  • Si `AAx in I\{x_0}`, `f(x)>=0` alors `lim_(x=>x_0)f(x)>=0`

  • Si `AAx in I\{x_0}`, `f(x)>=g(x)` alors `lim_(x=>x_0)f(x)>=lim_(x=>x_0)g(x)`

Théorème : Théorème d'encadrement

Soient `f,g,h` trois fonctions définies sur un intervalle `I` sauf éventuellement en `x_0`. Si :

  • `AAx in I - {x_0}`, `f(x)<=h(x)<=g(x)`

  • `lim_(x=>x_0)f(x)=lim_(x=>x_0)g(x)=l`

Alors `h` possède une limite en `x_0` et `lim_(x=>x_0)h(x)=l`.

Définition : Prolongement par continuité

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I - {x_0}` telle que `lim_(x=>x_0)f(x)=a`, `ainRR`.

Alors, on appelle prolongement par continuité de `f` en `x_0`, la fonction `hatf` définie sur `I` par :

  • `AAx in I` - `{x_0}`, `hat(f) (x)=f(x)`

  • `f(x_0)=a`

Théorème : Composée d'une fonction et d'une suite

Si ces deux conditions sont réunies :

  • `f` admet une limite `l` en `x_0`

  • `(u_n)` est une suite réelle admettant pour limite `x_0`

Alors la suite `f(u_n)` tend vers `l`.

Théorème : Limite d’une fonction composée

Si ces deux conditions sont réunies :

  • `lim_(x->x_0)f(x)=y_0`

  • `lim_(x->y_0)g(X)=z_0`

Alors `lim_(x=>x_0)g(f(x))=z_0`.

Chapitre suivant : Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle >