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Chapitre 11 :
Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle

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Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle
Définition : Fonctions paires et fonctions impaires

`f` est paire si :

  • `AAx in D_f`, `-x in D_f`

  • `x in D_f`, `f(-x)=f(x)`

`f` impaire si :

  • `AAx in D_f`, `-x in D_f`

  • `x in D_f`, `f(-x)=-f(x)`

Remarque

Courbe représentative d'une fonction paire et impaire

  • La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  • La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Définition : Fonctions majorées, minorées, bornes

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`.

  • Dire que `f` est majorée par un nombre réel `M` signifie que `x in I`, `f(x)<=M`

  • Dire que `f` est minorée par un nombre réel `m` signifie que `x in I`, `f(x)>=m`

  • Dire que `f` est bornée sur `I` signifie qu'elle est majorée et minorée sur `I`.

Définition : Fonction monotone

Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante ou si elle est décroissante sur cet intervalle.

Théorème : Limite monotone

Soient ]a,b[ un intervalle non vide et `f` une fonction croissante définie sur `]a,b[`. Alors:

  • En tout point `x_0` de `]a,b[`

`f` admet une limite à droite et une limite à gauche notées respectivement `f(x_0^+)` et `f(x_0^-)` avec `f(x_0^-)<=f(x_0)<=f(x_0^+)`.

  • Au point `b`

Si `f` est majorée, elle admet une limite à gauche qui est finie. Sinon, elle tend vers `+oo` en `b`.

  • Au point `a`

Si `f` est minorée, elle admet une limite à droite qui est finie. Sinon, elle tend vers `-oo` en en `a` .

Définition : Continuité sur un intervalle

`f` est continue sur `]a,b[` si `f` est continue en tout point de `]a,b[`.

`f` est continue sur `[a,b]` si `f` est continue en tout point de `]a,b[`, continue à droite en `a` et continue à gauche en `b`.

Théorème : Somme, produit, quotient et composition de fonctions continues

La somme, le produit, le quotient dont le dénominateur ne s'annule pas, l'exponentielle et le logarithme si défini de fonctions continues sur un intervalle `I` sont continues sur `I`.

Si `f` est une fonction continue sur `I` et `g` une fonction continue sur `f(I)` alors `g@f` est continue sur `I`.

Théorème : Valeurs intermédiaires

Si `f` est continue sur un intervalle `]a,b[` alors toute valeur comprise entre `f(a)` et `f(b)` possède au moins un antécédent par `f` dans `[a,b]`.

Théorème : Image d'un intervalle

Si `f` est continue sur un intervalle `I`, alors `f(I)` est un intervalle. Par ailleurs, si `I` est un segment, alors `f(I)` est aussi un segment.

Théorème : Théorème de la bijection

Si `f` est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle `[a,b]` alors réalise une bijection de `[a,b]` dans l'intervalle fermé dont les bornes sont `f(a)` et `f(b)` rangés par ordre croissante.

Théorème : Continuité et sens de variation de la fonction réciproque

Soit `f` une fonction bijective de `I` dans `J`. La fonction réciproque de `f` notée `f^-1` est définie sur `J` par :

`AA x in J`, `f^-1(y)=x``x` est l'unique élément de `I` tel que `f(x)=y`

Par ailleurs :

  • Si `f` est continue et strictement monotone sur `I` alors `f^-1` est continue et strictement monotone de même sens de monotonie que `f`.

  • La courbe représentative de `f^-1` est symétrique à la courbe représentative de `f` par rapport à l'axe des abscisses.

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