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Chapitre 12 :
Dérivation

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Dérivation
Définition : Dérivées à gauche et dérivées à droite

`f` est dérivable à droite en `x_0` :

  • Si `lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie

  • Cette limite est alors appelée nombre dérivé à droite de `f` en `x_0` et est notée `f_(d)'(x_0)`.

`f` est dérivable à gauche en `x_0` :

  • Si `lim_(x->x_0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie

  • Cette limite est alors appelée nombre dérivé à gauche de `f` en `x_0` et est notée `f_(g)'(x_0)`.

`f` est dérivable en `x_0` si les limites à gauche et à droite en `x_0` existent et sont égales.

Définition : Dérivabilité en un point

`f`, définie sur `I`, est dite dérivable en `x_0` :

  • Si `lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie

  • Cette limite est alors appelée nombre dérivé de `f` en `x_0` et notée `f'(x_0)`

`f` est dérivable en `x_0` signifie aussi qu'il existe un réel `A` et une fonction `epsilon` définie sur `I` tels que :

`AAx in I`, `f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+epsilon(x)(x-x_0)` avec `lim_(x=>x_0)epsilon(x)=0`.

On a alors `A=f'(x_0)`.

Théorème : Tangente de la courbe en un point

Si `f` est dérivable en `x_0`, la courbe représentative de `f` admet une tangente `T` au point d'abscisse `x_0` avec comme équation:

`(T):y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)`

Définition : Dérivabilité sur un intervalle

`f` est dite dérivable sur `]a,b[` si `f` est dérivable en tout point de `]a,b[`.

`f` est dite dérivable sur `[a,b]` si `f` est dérivable en tout point de `]a,b[`, à droite en `a` et à gauche en `b`.

Définition : Fonction dérivée

Si `f` est dérivable sur un intervalle `I`, on définit la fonction dérivée `f'` par :

`AAx in I`, `f'(x)` est le nombre dérivée de `f` en `x`.

Théorème : Opérations et dérivabilité

La somme, le produit, le quotient (si défini), l'exponentielle et le logarithme (si défini) de fonctions dérivables sur un intervalles `I` sont dérivables sur `I`.

Théorème : Dérivé d'un polynôme

Soit `f` une fonction polynomiale définie sur `RR` par `AAx in RR`, `f(x)=sum_(k=0)^na_kx^k` Alors, `f` est dérivable sur `RR` et :

`AAx in RR`, `f'(x)=sum_(k=1)^(n)ka_kx^(k-1)`

Théorème : Linéarité et composition de la dérivée

Si `f` et `g` sont dérivables sur un intervalle `I` et `lambdainRR` :

  • `lambdaf+g` est dérivable sur `I`

  • `(lambdaf+g)'=lambdaf'+g'`

Si `f` et `g` sont dérivables sur un intervalle `I` :

  • `f*g` est dérivable sur `I`

  • `(f*g)'=f'g+fg'`

Si `f` est une fonction dérivable sur un intervalle `I` et `g` une fonction continue sur `f(I)` :

  • `g@f` est dérivable sur `I`

  • `AAx in I`, `(g@f)'(x)=g'(f(x))*f'(x)`

Théorème : Dérivée d'une fonction réciproque

Soit `f` une fonction dérivable sur un intervalle `I` et admettant une fonction réciproque `f^-1`. La fonction `f^-1` est dérivable sur `f(I)` et :

`AAyinf(I)`, `g'(y)=1/(f'(g(y))`

Théorème : Théorème de Rolle

Soient `(a,b)iRR^2` avec `a<b` et `f` une fonction :

  • Définie et continue sur `[a,b]`

  • Dérivable sur `]a,b[`

  • Telle que `f(a)=f(b)`.

Alors `EEcin],b[`, `f'(c)=0`.

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit `f` une fonction :

  • Continue sur `[a,b]`

  • Dérivable sur `]a,b[`

S'il existe deux réels `m` et `M` tels que `AAx in ]a,b[`, `m<=f'(x)<M`, alors :

`m*(b-a)<=f(b)-f(a)<=M*(b-a)`

S'il existe un réel `C` tel que `AAx in ]a,b[`, `|f'(x)|<=C`, alors :

`|f(b)-f(a)|<=C*|b-a|`

Théorème : Sens de variation d'une fonction

Soit `f` une fonction continue sur `[a,b]` et dérivable sur `]a,b[`.

  • `f` est constante sur `[a,b]` `iff` `AAx in [a,b]`, `f'(x)=0`

  • `f` est décroissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)<=0`

  • `f` est croissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)>=0`

  • `f` est strictement croissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)>0`

  • `f` est strictement décroissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)<0`

Théorème : Extremum d'une fonction dérivable

Si `f` est dérivable sur `I` et si `f'` s'annule en un point `x_0` de `I` en changeant de signe alors `f` admet un extremum en `x_0`.

Définition : Fonction Arctangeante

On appelle fonction arctangente notée Arctan définie sur `] -pi/2,pi/2[` et à valeurs dans `RR` la fonction réciproque de la fonction tangente.

Théorème : Dérivée de la fonction Arctangeante

Arctan est dérivable sur `]-pi/2,pi/2[` et `AAx in ]-pi/2,pi/2[`, `Arctan'(x)=1/(1+x^2)`

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