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Chapitre 13 :
Intégration sur un segment

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Intégration sur un segment
Définition : Définition d'une primitive

Soit `f` une fonction définie sur `I`. On dit que la fonction `F` est une primitive de `f` sur `I` si `F` est dérivable sur `I` et :

`AAx in I`, `F'(x)` = `f(x)`

Théorème : Existence d'une primitive

Toute fonction `f` continue sur un intervalle `I` possède au moins une primitive sur `I`.

Si `F` est une primitive de `f` sur `I`, l'ensemble des primitives de `f` sur `I` est l'ensemble des fonctions de la forme `F+k` avec `kinRR`.

Définition : Intégrale

Soit `f` une fonction continue sur un intervalle `[a,b]`. On appelle intégrale de `a` à `b` de la fonction `f` le nombre réel `F(a)-F(b)``F` est une primitive quelconque de `f` et on la note :

`int_a^bf(t)dt`=`[F(t)]_a^b`

Remarque

Intégrale et aire sous la courbe

L'intégrale `int_a^bf(t)dt` correspond à l'aire sous la courbe représentative de la fonction `f` sur le segment `[a,b]`.

Théorème : Relation de Chasles de l'intégrale

Soit `f` une fonction continue sur `[a,b]` et soit `cin[a,b]`. Alors :

`int_a^bf(t)dt=int_a^cf(t)dt+int_c^bf(t)dt`

Théorème : Intégration d'une fonction continue par morceaux sur un segment

Soit `f` une fonction continue par morceaux sur les segments `[a_1,a_2], [a_2,a_3],...,[a_(n-1),a_n]`. Alors :

`int_(a_1)^(a_n)f(t)dt=sum_(k=1)^(n-1)int_(a_k)^(a_(k+1))f(t)dt`

Théorème : Linéarité de l'intégrale

Soient `f,g` deux fonctions continues sur l'intervalle `[a,b]` et `lambdainRR`. On a :

  • `int_a^b(f+g)(t)dt=int_a^bf(t)dt+int_a^bg(t)dt`

  • `int_a^blambda*f(t)dt=lambda*int_a^bf(t)dt`

Théorème : Positivité de l'intégrale

Soit `f` une fonction continue sur un intervalle `[a,b]`. Si `AAx in [a,b]`, `f(x)>=0` alors `int_a^bf(t)dt>=0`.

Théorème : Nullité de l'intégrale

Soit `f` une fonction continue et positive sur un segment `[a,b]`. Alors :

`int_a^bf(t)dt=0` `iff` `AAx in [a,b]`, `f(x)=0`

Cette équivalence est également valable si `f` est négative sur le segment `[a,b]`.

Théorème : Inégalité

Soir `f` une fonction continue sur un intervalle `[a,b]`. Alors :

`|int_a^bf(t)dt|<=int_a^b|f(t)|dt<=(b-a)max_(tin[a,b])|f(t)|`

Théorème : Intégration par parties

Soient `u` et `v` deux fonctions continues et dérivables sur `[a,b]`. Alors :

`int_a^bu(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b+int_a^bu'(t)v(t)dt`

Théorème : Changement de variable

Soient `f` une fonction continue sur `[a,b]` et `u` une fonction de classe `C^1` sur `[alpha,beta]` tel que `u[alpha,beta]sub[a,b]`. Alors :

`int_(u(alpha))^(u(beta))f(x)dx=int_alpha^betaf(u(t))u'(t)dt`

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