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Chapitre 14 :
Généralités sur les probabilités

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Généralités sur les probabilités
I

Observation d'une expérience aléatoire - Evènements

Définition : Expérience aléatoire et évènement

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être déterminé préalablement.

Les résultats possibles de l'expérience sont appelés les événements.

On appelle `Omega` l'ensemble des résultats possibles ou univers et `P(Omega)` l'ensemble des événements.

Définition : Évènement élémentaire

Si `Omega` est un ensemble fini alors les singletons `{omega} (omegainOmega)` sont appelés événements élémentaires.

Définition : Évènement certain et évènement impossible

Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais.

Remarque

Notation et incompatibilité

Soient `A` et `B` deux événements.

  • L'événement `A` et `B` s'écrit `AnnB`

  • L'événement `A` ou `B` s'écrit `AuuB`

  • Si `AnnB=O/` alors `A` et `B` sont dits incompatibles.

Définition :

Une famille d'événements forme un système complet d'événements si elle respecte deux conditions :

  • Ses événements sont deux à deux incompatibles

  • La réunion de ses évènements forme l'univers tout entier.

II

Probabilité

Définition : Tribu et espace probabilisable

Soit `Omega` un ensemble fini et `A` une partie de `P(Omega)`. `A` est une tribu de `Omega` si :

  • L'événement certain appartient à `A`

  • Si un événement appartient à `A`, son contraire appartient aussi à `A`

  • Les réunions d'événements de `A` appartiennent aussi à `A`

Si `A` est une tribu, on dit que le couple `(Omega,A)` est un espace probabilisable.

Définition : Probabilité

Soit `(Omega,A)` un espace probabilisable. Une probabilité sur `(Omega,A)` est une application `P` de `A` dans `[0,1]` telle que :

  • `P(Omega)=1`

  • `AAA,BinOmega` tels que `AnnB!=O/`, on a `P(AuuB)=P(A)+P(B)`.

Définition : Notion d'espace probabilisé

`(Omega,A,P)` est appelé espace probabilisé.

Théorème : Formule du crible de Poincaré

Soient `A,B` et `C` trois événements dans un espace probabilité.

  • `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AuuB)`

  • `P(AuuBuuC)` = `P(A)+P(B)+P(C)-P(AnnB)-P(AnnC)-P(BnnC)+P(AnnBnnC)`

III

Probabilité conditionnelle

Théorème : Probabilité conditionnelle

Soit `A` un événement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de `B` sachant `A` vaut :

`P_A(B)=(P(AnnB))/(P(A))`

Théorème : Formule des probabilités composées

Soient `A`, `B` et `C` trois événements :

  • Si `P(A)!=0` : `P(AnnB)=P(A)*P_A(B)`
  • Si `P(AnnB)!=0` : `P(AnnBnnC)=P(A)*P_A(B)*P_(AnnB)(C)`

Soient `A_1, A_2, ... A_n` une famille d'événements telle que `P(A_1nn...nnA_n)!=0`. Alors :

`P(A_1nnA_2nn...nnA_n)=P(A_1)*P_(A_1)(A_2)*...*P_(A_1nnA_2nn...nnA_n)(A_n)`

Théorème : Formule des probabilités totales

Soit `A_1, A_2, ... A_n` un système complet d'événement et `B` un événement. Alors :

`P(B)=P(BnnA_1)+...+P(BnnA_n)=P_(A_1)(B)P(A_1)+...+P_(A_n)(B)*P(A_n)`

Théorème : Formule de Bayes

Soient `A` et `B` deux événements de probabilités non nulles. On a :

`P_B(A)=(P_A(B)*P(B))/(P(B))`

IV

Indépendance en probabilité

Définition : Indépendance

Deux événements `A` et `B` de probabilités non nulles sont indépendants si l'une ou l'autre de ces égalités est vérifiée :

  • `P_A(B)=P(B)`

  • `P_B(A)=P(A)`

Autrement dit, `A` et `B` de probabilités non nulles sont indépendants si :

`P(AnnB)=P(A)*P(B)`

Définition : Indépendance mutuelle

Les événements `A_1, A_2, ..., A_n` sont dis mutuellement indépendants si :

`P(A_1nnA_2nn...nA_n)=P(A_1)*P(A_2)*...*P(A_n)`

Théorème : Indépendance et évènement contraire

Si `n` événements `A_i` sont mutuellement indépendants alors les événements `barA_i` sont également mutuellement indépendants.

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