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Chapitre 15 :
Variables aléatoires réelles

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Variables aléatoires réelles
Définition : Variable aléatoire réelle (VAR)

Soit `(Omega,A)` un espace probabilisable. `X` est une variable aléatoire réelle sur `(Omega,A)` si `X` est une application de `Omega` dans `RR` telle que :

`AAx in RR`, `{``omegainOmega` tel que `X(omega)<=x``}``inA`

Remarque

Notations

  • `(X=x)` signifie `{``omegainOmega` tel que `X(omega=omega``}`

  • `(a<X)` signifie `{``omegainOmega` tel que `a<X(omega)``}`

  • `(X<=a)` signifie `{``omegainOmega` tel que `X(omega)<=a``}`

Définition : Système complet d'événement associé à une variable aléatoire

Soit `X` une variable aléatoire sur un univers fini ou dénombrable `Omega` avec `X(Omega)={x_i}_(iinI)``I` est un ensemble fini ou dénombrable d'entiers. Alors :

  • Les ensembles `(X=x_i)_(iinI)` forme un système complet d'événements

  • `Omega=uu_(iinI)(x=x_i)`

Définition : Fonction de répartition

Soit `X` une variable aléatoire sur `(Omega,A,P)`. La fonction de répartition de `X` est la fonction `F_X` définie sur `RR` et à valeurs dans `RR` par :

`AAx in RR`, `F_X(x)=P(x<=x)`

Théorème : Propriétés de la fonction de répartition

Soient `X` une variable aléatoire sur `(Omega,A,P)` et `F_X` sa fonction de répartition. Alors :

  • `AAx in RR`, `F_X(x)in[0,1]`, `lim_(x=>-oo)F_X(x)=0` et `lim_(x=>+oo)F_X(x)=1`

  • La fonction `F_X` est croissante sur `RR`

  • `F_X` est continue à droite en tout point

  • `AAa,binRR`, on a `P(a<X<=b)=F_X(b)-F_X(a)`

Définition : Loi d'une variable aléatoire

Soit `X` une variable aléatoire définie sur `(Omega,A,P)`. On appelle loi de probabilité de `X` l'ensemble `P(X=x)_(x in X(Omega)`.

Théorème : Variable aléatoire `Y=g(X)`

Soient `X` une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisée `(Omega,A,P)` et `g` une fonction définie telle que :

  • `g(X)` est l'application de `Omega` dans `RR`

  • `AAomegainOmega`, `g(X)(omega)=g(X(omega))`

Alors `Y=g(X)` est une variable aléatoire réelle définie sur `Omega` et :

`AAyinY(Omega)`, `P(Y=y)=sum_(i|g(x_i)=y)P(X=x_i)`

Définition : Espérance d'une variable aléatoire

Soit `X` une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. On dit que `X` admet une espérance si l'une des deux conditions est vérifiée :

  • `X(Omega)` est finie

  • La série `sum_(x in X(Omega))P(X=x)` est absolument convergente.

On a alors : `E(X)=sum_(x in X(Omega))P(X=x)`

Théorème : Transfert

Soit `X` une VAR sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. Si `X(Omega)` est finie ou si la série `sum_(x in x(Omega)g(x)P(X=x)` converge, alors la VAR `g(X)` admet une espérance et :

`E(g(X))=sum_(x in X(Omega))g(x)P(X=x)`

Théorème : Linéarité de l'espérance

Soit `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles et `a,b` deux nombres réels. Alors :

  • `E(aX+b)=aE(X)+b`

  • `E(X+Y)=E(X)+E(Y)`

Définition : Moment d'ordre `r` d'une variable aléatoire réelle

Soient `X` une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)` et `r` un entier naturel.

Si `X^r` admet une espérance alors on appelle moment d'ordre `r` de `X` le nombre `E(X^r)`.

Définition : Variance

Soit `X` une VAR définie sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. Si `X` admet un moment d'ordre 2, alors on appelle variance de `X` :

`V(X)=E((X-E(X))^2)`

Définition : Écart-type

Soit `X` une VAR sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)` admettant une variance. On appelle alors écart-type de `X` :

`sigma(X)=sqrt(V(X))`

Remarque

Variance nulle

Si `V(X)=0` alors la VAR `X` est constante.

Théorème : Formules sur la variance

Soient `X` une VAR sur `(Omega,A,P)` admettant une variance et `a,b` deux réels :

  • Formule de Huygens: `V(X)=E(X^2)-E(X)^2`

  • `V(aX+b)=a^2V(X)`

Définition : Variable centrée réduite

Dire qu'une variable aléatoire réelle `X` est centrée signifie que `sigma(X)=1`.

Si `sigma(X)!=0` alors la variable aléatoire `X^(**)=(X-E(X))/(sigma(X))` est centrée réduite. Son espérance est nulle.

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