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Chapitre 16 :
Lois usuelles

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Lois usuelles
Définition : Loi certaine

Une variable suivant une loi certaine est une loi dont la variance est nulle.

Définition : Loi de Bernoulli

Une VAR `X` suit une loi de Bernouilli de paramètre `p in [0,1]` si :

  • `X(Omega)={0,1}`

  • `P(X=1)=p` et `P(X=0)=1-p`

On note `X→B(1,p)` et on a :

  • `E(X)=p`

  • `V(X)=p(1-p)`

Définition : Fonction indicatrice d'un événement

Soit `Omega` un univers et un événement `AsubOmega`. On note `1_A` la fonction indicatrice définie par :

  • `1_A(omega)=1` si `omegainA`

  • `1_A(omega)=0` sinon

Définition : Parties de `p` éléments d'un ensemble à `n` éléments

Soit `E` un ensemble à `n` éléments. On note `C_n^p` le nombre de sous-ensembles à `p` éléments de `E` et on a :

`C_n^p=(n!)/(p!(n-p!))`

Théorème : Formules

`AAninNN` et `pin{0,1,..,n}`, on a :

  • `C_n^p=C_n^(n-p)`

  • `C_n^p=n/p*C_(n-1)^(p-1)`

  • Formule du triangle de Pascal : `C_n^p+C_n^(p+1)=C_(n+1)^(p+1)`

Définition : Loi binomiale

Soient `n` un entier naturel non nul et `pin]0,1[`. Une VAR `X` suit une loi binomiale de paramètres `n` et `p` si :

  • `X(Omega)=[0,n]` (nombres entiers seulement)

  • `AAkin[0,n]`, `P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)`

On note `X→B(n,p)` et on a également :

  • `E(X)=np`

  • `V(X)=np(1-p)`

Remarque

Application : formule du binôme de Newton

`(a+b)^n=sum_(k=0)^nC_n^ka^(n-k)b^k`

Définition : Loi uniforme sur `[1,n]`

Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi uniforme sur `[1,n]` si :

  • `X(Omega)=[1,n]` (entiers seulement)

  • `AAkin[1,n]`, `P(X=k)=1/n`

On note `X→U[1,n]` et on a :

  • `E(X)=(n+1)/2`

  • `V(X)=(n^2-1)/12`

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