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Chapitre 18 :
Espaces vectoriels de dimension finie

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Espaces vectoriels de dimension finie
Théorème : Familles génératrices en dimension finie : extraction d’une base

Soit `E` un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie `(x_i)_(iin [1,n])`, `i` entier. Alors la famille `(x_i)` admet une sous-famille qui est une base de `E`.

Théorème : Comparaison de familles libres et de familels génératrices

Soit `E` un espace vectoriel. Alors, si `L` est une famille libre de `E` et `G` une famille génératrice de `E` :`card(L)<=card(G)`

Définition : Dimension d'un espace vectoriel

Si un espace vectoriel `E` admet une base constituée de `n` vecteurs :

  • Toute autre base de `E` a `n` vecteurs

  • `n` est appelé dimension de `E` et noté `dim(E)`

Théorème : Familles libres et familles génératrices de n vecteurs
  • Une famille libre à `n` vecteurs dans un espace `E` de dimension `n` est une base de `E`.

  • Une famille génératrice à `n` vecteurs dans un espace `E` de dimension `n` est une base de `E`.

Définition : Rang d'une famille de vecteurs

Soit `(u_1, ..., u_n)` une famille de vecteurs d'un espace vectoriel `E`. On appelle rang de `(u_1, ..., u_n)` la dimension de vect`(u_1, ..., u_n)`.

Théorème : Théorème de la base incomplète

Soit `E` un espace vectoriel de dimension finie `n` et `(e_1, e_2, ..., e_k)` une famille libre de `E`. Alors `EE(e_(k+1),..., e_n)` tels que `(e_1, ..., e_n)` est une base de `E`.

Théorème : Dimension d'un sous-espace vectoriel

Soit `E`un espace vectoriel de dimension finie et `F` un sous-espace vectoriel de `E`. Alors :

  • `F` est un espace vectoriel de dimension finie

  • `dimF<=dimE`

  • `dimF=dimE` `iff` `F=E`

Définition : Sous-espace vectoriel engendré

Soit `E` un espace vectoriel et `B=(u_1, ..., u_n)` une famille de vecteurs de `E`. On note vect`(u_1, ... u_n)` le sous-espace vectoriel de `E` dont la famille `B` est une base et on l'appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille `B`.

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