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Chapitre 19 :
Compléments sur les espaces vectoriels

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Compléments sur les espaces vectoriels
Définition : Somme de deux sous-espaces vectoriels

Soient `F_1` et `F_2` deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel `E`. On appelle somme de `F_1` et `F_2`, notée `F_1+F_2` la partie de `E` suivante :

`F_1+F_2={x=f_1+f_2 tel que f_1inF_1, f_2inF_2}`.

Définition : Somme directe de deux sous-espaces vectoriels

Soient `F_1` et `F_2` deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel `E`. On dit que la somme `F_1+F_2` est directe si : `F_1nnF_2={vec(0_E)} `.

On note dans ce cas `F_1o+F_2`.

Définition : Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Soient `F_1` et `F_2` deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel `E`. On dit que `F_1` et `F_2` sont supplémentaires dans `E` si `F_1o+F_2=E`.

Définition : Somme et somme directe de `k` sous-espaces vectoriels

Soient `k` sous-espaces vectoriels de `E` : `F_1,...F_n`. On appelle somme de `F_1,...F_n`, notée `sum_(i=1)^nF_i`, l'ensemble :

`sum_(i=1)^nF_i={x=sum_(i=1)^nf_i | AAiin[1,n], f_iinF_i}`

Si `f_1,..., f_n` sont uniques, la somme est dite directe et on note : `F_1o+F_2o+...o+F_n`.

Théorème : Existence de sous-espaces vectoriels supplémentaires

Soient `F` un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie `E`. Alors `F` admet des supplémentaires dans `E`.

Théorème : Somme et dimension de sous-espaces vectoriels

Soient `E` un espace vectoriel de dimension finie, `F` et `G` deux sous-espaces vectoriels de `E`. Alors :

  • `dim(F+G)<=dim(F)+dim(G)`

  • Si `Fo+G` : `dim(Fo+G)=dim(F)+dim(G)`

  • Si `Fo+G=E` : `dim(E)=dim(F)+dim(G)`

Théorème : Somme et dimension de `n` sous-espaces vectoriels

Soient `F_1,...,F_n` des sous-espaces vectoriels de `E` en somme directe. Alors :

`dim(F_1o+F_o+...o+F_n)=dim(F_1)+dim(F_2)+...+dim(F_n)`.

Théorème : Union de bases de sous-espaces vectoriel en somme directe

Soient `F_1,...,F_n` des sous-espaces vectoriels de `E` en somme directe. Alors l'union d'une base de `F_1`, d'une base de `F_2`, ..., d'une base de `F_n` donne une base de `F_1o+F_2o+...o+F_n`.

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