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Chapitre 20 :
Applications linéaires et matrices associées

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Applications linéaires et matrices associées
I

Cas général

Définition : Application linéaire

Soit `E` et `F` deux espaces vectoriels réels et `f` une application de `E` vers `F`. `f` est une application linéaire de `E` dans `F` si :

  • `AA(u,v)inE^2` : `f(u+v)=f(u)+f(v)`

  • `AA(u,lambda)inExxRR` : `f(lambda*u)=lambda*f(u)`

Définition : Endomorphisme

Une application linéaire de `E` dans `E` est un endomorphisme de `E`.

Remarque

Applications linéaires et endomorphismes : notation

  • `L(E,F)` est l'ensemble de toutes les applications linéaires de `E` dans `F`.

  • `L(E)` l'ensemble des endomorphismes de `E`

Théorème : Composée d'applications linéaires

Soient, `E,F` et `G` trois espaces vectoriels et `finL(E,F)` et `gin(F,G)`. Alors `g@finL(E,G)`.

Définition : Isomorphisme, automorphisme et application réciproque

Soient `E,F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. Si `f` est bijective :

  • `f` est un isomorphisme de `E` dans `F`

  • `f` admet une application réciproque `f^-1` et `f^(-1)inL(F,E)`

Un isomorphisme de `E` dans `E` est par ailleurs appelé automorphisme de `E`.

Définition : Noyau d'une application linéaire

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. On appelle noyau de `f` et on note `ker(f)` l'ensemble suivant :

`ker(f)={x in E, f(x)=0_F}`

Définition : Image d'une application linéaire

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. On appelle image de `f` et on note `Im(f)` l'ensemble suivant :

`Im(f)={f(x) | x in E}`

Théorème : Projecteur

Soit `f` un endomorphisme d'un espace vectoriel `E`. `f` est un projecteur si et seulement si : `f@f=f`.

II

Cas de la dimension finie

Définition : Rang d'une application

On appelle rang de l'application `finL(E,F)` et on on note `rg(f)` la dimension de `Im(f)` si elle existe.

Théorème : Théorème du rang

Soit `finL(E,F)` avec `E` un espace vectoriel de dimension finie et `F` un espace vectoriel quelconque. Alors :

`dim(E)=dim(ker(f))+dim(Im(f))`

Définition : Formes linéaires

Les applications linéaires d'un espace vectoriel de dimension finie `E` dans `K` sont appelées formes linéaires sur `E`.

Définition : Hyperplan d'un Espace Vectoriel

Soit `E` un espace vectoriel de dimension finie. `H` est un hyperplan de `E` signifie que `H` est le noyau d'une forme linéaire non nulle.

III

Matrices et applications linéaires

Théorème : Unicité d'une matrice associée pour une ou deux bases données

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels de dimensions `n` et `p`.

  • L'application qui à toute application linéaire `f` de `L(E,F)` associe sa matrice relative aux bases `B_E` et `B_F` de `E` et `F` est un isomorphisme de `L(E,F)` sur `M_(n,p)(RR)`.

  • L'application qui à tout endomorphisme `f` de `L(E)` associe sa matrice relative à la base `B_E` est un isomorphisme de `L(E)` sur `M_n(RR)`.

Remarque

Notation

Soit `B_E=(x_i)_(i in[1,n])` une base d'un espace vectoriel `E` et `x in E`, `x=sum_(i=1)^na_ix_i`.

`x` s'écrit sous la forme du vecteur colonne `x=((a_1),(a_2),(...),(a_n))` dans la base `B_E`.

Théorème : Image d'un vecteur par une application linéaire

Soir `A` la matrice de l'application linéaire `f inL(E,F)` relativement aux bases `B_E` et `B_F`. Soit `X in E`, alors `AX` est le vecteur colonne associé à `f(X)`.

Théorème : Matrice associée et composée d'applications linéaires

Soient `E,F,G` trois espaces vectoriels avec pour bases respectives `B_E,B_F,B_G` et `finL(E,F)`, `ginL(F,G)`. Alors :

`M_(B_G,B_E)(g@f)=M_(B_G,B_F)(g)*M_(B_F,B_E)(f)`

Définition : Rang d'une matrice

Soit `A` une matrice associée à une application linéaire `f`. Le rang de la matrice `A` est le rang de l'application `f` : `rg(A)=rg(f)`.

Théorème : Rang d'une matrice transposée

Soit `A` une matrice, `rg(A)=rg(""^tA)`

IV

Endomorphismes et matrices carrées

Définition : Matrice associée à un endomorphisme

Soit `E` un espace vectoriel et `f` un endomorphisme de `E`, alors la matrice de l'application `f` relativement à la base `B` de `E` est notée `M_B(f)`.

Définition : Matrices commutantes

Soient `A` et `B` deux matrices de `M_n(R)`. `A` et `B` sont commutantes ou commutent si `AB=BA`.

Théorème : Matrices commutantes et puissance

Si `A` et `B` commutent, alors `AAkinN`, `(AB)^k=A^k*B^k`

De plus, `I_n` commute avec toutes les matrices d'ordre `n`.

Théorème : Matrices et binôme de Newton

Soient `A` et `B` deux matrices qui commutent. Alors `AAninN`, on a :

`(A+B)^n=sum_(k=0)^nC_n^k * A^k*B^(n-k)`

Définition : Automorphisme

Soit `f` un endomorphisme d'un espace vectoriel `E`. Si `f` est bijectif, on dit que `f` est un automorphisme de `E`. L'ensemble des automorphismes de `E` est noté `GL(E)`.

Définition : Matrice inversible et matrice inverse

Soit `A in M_n(K)`. Dire que `A` est inversible signifie qu'il existe une matrice `B in M_n(K)` telle que :

  • `AB=I_n`

  • `BA=I_n`

La matrice `B` est appelée matrice inverse de `A` et notée `A^(-1)`. L'ensemble des matrices inversibles de `M_n(K)` est noté `GL_n(K)`.

Théorème : Lien entre applications et matrices inversibles

Une matrice `A` associée de taille `n` à un endomorphisme `f` d'un espace vectoriel `E` de dimension `n` est inversible si et seulement si `f` est bijectif :

`AinGL_n(K)` `iff` `finGL(E)`.

Définition : Polynôme d'endomorphisme

Soit `f` un endomorphisme d'un espace vectoriel `E` de dimension `n`.

On pose la relation de récurrence :

  • `f^0=I_E` et `AAkinNN`
  • `f^k=f^(k-1)@f`

Alors, on appelle polynôme de l'endomorphisme `f` l'endomorphisme `P` de `E` tel que `EE(a_0,a_1,...,a_p)inK^p`, `P(f)=sum_(k=0)^pa_kf^k`

Si `A` est la matrice carrée, associé à l'application `f` dans une base de `E`, `P=sum_(k=0)^pa_kA^k` est appelé polynôme de la matrice carrée `A`.

Définition : Polynôme annulateur

Soit `finL(E,F)` et `P in RR[K]`. `P` est appelé polynôme annulateur de `f` si `P(f)=0_F`.

Théorème : Existence d'un polynôme annulateur

Toute endomorphisme d'un espace de dimension finie `E` admet au moins un polynôme annulateur non nul.

Par conséquent, tout matrice de `M_n(RR)` admet au moins un polynôme annulateur non nul.

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