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Chapitre 21 :
Étude asymptotique des suites et comparaison de fonctions

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Étude asymptotique des suites et comparaison de fonctions
I

Étude asymptotique des suites et équivalence

Définition : Suite négligeable

Soient `u` et `v` deux suites réelles. On dit que `u` est négligeable par rapport à `v` au voisinage de `+oo` si :

`lim_(n->+oo)u_n/v_n=0`

On note alors `u_n=o(v_n)`.

Définition : Suites équivalentes

Soient `u` et `v` deux suites réelles. On dit que `u` et `v` sont équivalentes au voisinage de `+oo` si :

`lim_(n->+oo)u_n/v_n=1`

On note alors `u_n~v_n`.

Théorème : Lien entre suites équivalentes et négligeables

Soient `u` et `v` deux suites réelles. Alors :

`u_n~v_n` `iff` `u_n=v_n+o(v_n)`

Théorème : Opérations sur les équivalents

Soient `u,v,w,x` trois suites réelles. Alors :

Si `u_n~v_n` et `w_n~x_n`, alors :

`u_n*w_n~v_n*x_n`

Soit `p in NN`, si `u_n~v_n`, alors :

`u_n^p ~ v_n^p`

Si `u_n~v_n`, `w_n~x_n` et si `w_n` et `x_n` ne s'annulent pas à partir d'un certain rang, alors :

`u_n/w_n~v_n/x_n`

II

Comparaison des fonctions d'une variable au voisinage d'un point

Définition : Fonction négligeable

Soient `f` et `g` deux fonctions définies et non nulles au voisinage d'un point `x_0`. On dit que `f` est négligeable par rapport à `g` au voisinage de `x_0` si :

`lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0`

On note alors `f(x)=_(x_0)o(g(x))` au voisinage de `x_0`.

Définition : Fonctions équivalentes

Soient `f` et `g` deux fonctions définies et non nulles au voisinage d'un point `x_0`. On dit que `f` est équivalent à `g` au voisinage de `x_0` si :

`lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=1`

On note alors `f(x)~_(x->x_0)g(x)` au voisinage de `x_0`.

Théorème : Lien entre suites équivalentes et négligeables

Soient `f` et `g` deux fonctions définies et non nulles au voisinage d'un point `x_0`. Au voisinage de `x_0` :

`f~g` `iff` `f=g+o(g)`

Théorème : Opérations sur les équivalents

Soient `f,g,h` trois fonctions et `x_0` un point de `RR`.

Si `f(x)~_(x->x_0)g(x)` et que `h(x)!=0` au voisinage de `x_0`n, alors :

`f(x)h(x)~_(x->x_0)g(x)h(x)`

Si `f(x)~_(x->x_0)g(x)` et que `h(x)!=0` au voisinage de `x_0`, alors :

`f(x)/(h(x))~_(x->x_0)g(x)/(h(x))`

Si `f(x)~_(x->x_0)g(x)` et `f(x)>0` au voisinage de `x_0`, alors :

`(f(x))^(alpha)~_(x->x_0)(g(x))^(alpha)`

Théorème : Croissances comparées

Soit `ninNN^(**)` :

  • `lim_(x->+oo)(ln(x))/(x^n)=0`

  • `lim_(x->+oo)(e^x)/(x^n)=+oo`

  • `lim_(x->0)x^nln(x)=0`

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