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Chapitre 24 :
Dérivées successives et extremum

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Dérivées successives et extremum
Définition : Fonctions `p` fois dérivables

On dit que la fonction `f` est `p` fois dérivable si :

`AA k<=p`, `f^(k)` est dérivable où `f^(k)=(f^(k-1))'`

Définition : Fonctions de classe `C^p` et `C^(oo)`

Soit `p in NN`. `f` est de classe `C^p` sur `I` signifie que `f` est `p` fois dérivable sur `I` et que `f^(p)` est continue sur `I`.

`f` est de classe `C^(oo)` sur `I` signifie que `f` est dérivable autant de fois que l'on veut sur `I`.

Théorème : Opérations sur les fonctions de classe `C^p` et `C^(oo)`

De la même manière que la continuité et la dérivabilité : l'addition, le produit, le quotient et la composition conservent les caractères `C^p` et `C^(oo)` sur un intervalle.

Théorème : Formule de Leibniz

Soient `f,g` deux fonctions de classe `C^p` sur un intervalle `I`. Alors :

`(fg)^(p)=sum_(k=0)^(p)C_p^kf^((k))g^((p-k))`

Théorème : Dérivées successives d'un polynôme

La dérivée `(n+1)`-ème d'un polynôme de degré au plus `n` est nulle.

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