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Chapitre 25 :
Développements limités

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Développements limités
Définition : Développement limité

Soient `x_0inRR`, `f` une fonction définie au voisinage de `x_0` sauf éventuellement en `x_0` et `ninNN`. On dit que `f` admet un développement limité d'ordre `n` au voisinage de `x_0` lorsqu'il existe des réels `a_0,a_1,...,a_n` tels que au voisinage de `x_0` :

`f(x)=sum_(k=0)^na_k(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)`

Théorème : Opération sur les développements limités

Soient `f` et `g` deux fonctions admettant un développement limité au voisinage de `x_0` :

  • `f(x)=sum_(k=0)^na_k(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)`

  • `g(x)=sum_(k=0)^nb_k(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)`

Alors au voisinage de `x_0` :

  • `(f+g)(x)=sum_(k=0)^n(a_k+b_k)(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)`

  • `(f*g)(x)=(sum_(k=0)^na_k(x-x_0)^k)*(sum_(k=0)^nb_k(x-x_0)^k)+o((x-x_0)^n)`

Théorème : Formule de Taylor-Young

Soient `f`une fonction de classe `C^(n)` sur un intervalle `I` et `ainI`. Alors :

`AAx in I`, `f(x)=sum_(k=0)^n(f^((k))(a))/(k!)*(x-a)^k+o(x-a)^n`

Théorème : Développements limités usuels

Au voisinage de 0 :

  • `e^x=sum_(k=0)^n(x^k)/(k!)+o(x^n)`

  • `ln(x)=sum_(k=1)^n(-1)^(k-1)(x^k)/k+o(x^n)`

  • `(1+x)^(alpha)=1+sum_(k=1)^n(alpha*(alpha-1)*...*(alpha-k+1))/(k!)*x^k+o(x^n)`

  • `cos(x)=sum_(k=0)^n(-1)^k(x^(2k))/((2k!))+o(x^(2n+1))`

  • `sin(x)=sum_(k=0)^n(-1)^k(x^(2k+1))/((2k+1!))+o(x^(2n+2))`

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