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Chapitre 27 :
Fonctions convexes et concaves

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Fonctions convexes et concaves
Définition : Fonction convexe

Une fonction `f` est convexe sur un intervalle `I` si `AA(x_1,x_2)inI^2` :

`AA(t_1,t_2)in[0,1]^2` tels que `t_1+t_2=1`, `f(t_1x_1+t_2x_2)<=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)`

Graphiquement, la convexité de `f` sur `I` signifie que la courbe représentative de `f` est située au-dessus de ses tangentes en tout point de `I`.

Définition : Fonction concave

Une fonction `f` est concave sur un intervalle `I` si `AA(x_1,x_2)inI^2` :

`AA(t_1,t_2)in[0,1]^2` tels que `t_1+t_2=1`, `f(t_1x_1+t_2x_2)>=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)`

Graphiquement, la concavité de `f` sur `I` signifie que la courbe représentative de `f` est située en dessous de ses tangentes en tout point de `I`.

Définition : Point d'inflexion

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `I`. Si `f''` s'annule en changeant de signe en un point `x_0`, alors le point de la courbe représentative `Cf` de `f` d'abscisse `x_0` est appelée point d'inflexion de `f`.

Graphiquement, un point d'inflexion de `Cf` est un point où la courbe représentative de `f` traverse sa tangente en ce point.

Théorème : Caractérisation des fonctions convexes et concaves

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `I`. Alors :

  • `f` est convexe si et seulement si `f'` est croissante sur `I`

  • `f` est concave si et seulement si `f'` est décroissante sur `I`

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `I`. Alors :

  • `f` est convexe si et seulement si `f''` est positive sur `I`

  • `f` est concave si et seulement si `f''` est négative sur `I`

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