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Chapitre 29 :
Espace probabilisé

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Espace probabilisé
Définition : Tribu dans un espace dénombrable

Soit `Omega` un ensemble dénombrable et `A` une partie de `P(Omega)`. On dit que `E` est une tribu (ou `sigma`-algèbre) si ces conditions sont réunies :

  • L'événement certain appartient à `A`

  • Si `A` contient un événement, il contient aussi son complémentaire

  • Les réunions d'événements de `A` appartiennent à `A`

Définition : Généralisation de la notion de système complet d'événements

Soit `(Omega,A,P)` un espace probabilité. Soit `I` un ensemble fini ou dénombrable d'entiers. Dire que `(A_n)_(ninI)` un système complet d'événements signifie que :

  • Les événements `A_1, A_2..., A_n` sont deux à deux incompatibles

  • `sum_(ninI)P(A_n)=1`

Définition : Probabilité

Soit `(Omega,A)` un espace probabilisable. Une probabilité est une application `P` de `A` dans `[0,1]` telle que :

  • `P(Omega)=1`

  • `AAA,BinA` tels que `AnnB=O/` on a `P(AuuB)=P(A)+P(B)`

`(Omega,A,P)` est appelé espace probabilisé.

Définition : Tribu engendrée par un système complet d'événements

Soit `(Omega,P(Omega))` un espace probabilisable `I` un ensemble dénombrable. Si les événements `(B_i)_(iinI)` forment un système complet d'événements, alors `A=uu_(iinI)B_i` est appelé tribu engendrée par le système complet d'événements `(B_i)_(iinI)`.

Définition : Évènement presque sûr et évènement négligeable

Soit `(Omega,A,P)` un espace probabilisé, `EinOmega`.

  • Si `P(E)=1`, `E` est appelé événement presque sûr.

  • Si `P(E)=0`, `E` est appelé événement négligeable.

Théorème : Théorème de la limite monotone

SOit `(Omega,A,P)` un espace probabilisé.

`(A_n)_(ninNN)` est une suite croissante d'événements si (`AAkinNN`, `A_ksubA_(k+1)`) alors :

  • La suite `(P(A_n))_(ninNN)` est convergente

  • `P(uu_(n=0)^(+oo)A_n)=lim_(n=>+oo)P(A_n)`

`(A_n)_(ninNN)` est une suite décroissante d'événements si (`AAkinNN`, `A_(k+1)subA_k`), alors :

  • La suite `(P(A_n))_(ninNN)` est convergente

  • `P(nn_(n=0)^(+oo)A_n)=lim_(n=>+oo)P(A_n)`

Conséquences :

  • `P(uu_(n=0)^(+oo)A_n)=lim_(n=>+oo)P(uu_(k=0)^(n)A_k)`

  • `P(nn_(n=0)^(+oo)A_n)=lim_(n=>+oo)P(nn_(k=0)^(n)A_k)`

Théorème : Généralisation de la formule des probabilités totales

Soit `(A_i)_(iinNN)` un système complet d'événements et `B` un événement. Alors :

`P(B)=sum_(n=0)^(+oo)P(BnnA_n)=sum_(n=0)^(+oo)P_(A_n)(B)P(A_n)`

Théorème : Généralisation de la formule des probabilités composées

Soient `A_1, A_2, ... A_n` une famille d'événements telle que `P(A_1nnA_2nn...nnA_n)!=0`. Alors :

`P(A_1nnA_2nn...nnA_n)=P(A_1)*P_(A_1)(A_2)*...*P_(A_1nnA_2nn...nnA_n)(A_n)`

Théorème : Généralisation de la formule de Bayes

Soit `(A_i)_(IinNN)` un système complet d'événements de probabilités non nulles et `B` un événement de probabilité non nulle. Alors :

`AAkinNN`, `P_B(A_k)=(P_(A_k)(B)*P(A_k))/(sum_(i>=1)P_(A_i)(B)P(A_i))`

Définition : Indépendance mutuelle d'une suite infinie d'événements

Soir `I` un ensemble dénombrable d'entiers et `(A_i)_(iinNN)` une famille d'événements. Les événements `(A_i)_(iinNN)` sont dits :

  • Indépendants si `P(nn_(iinI)A_i)=prod_(iinI)P(A_i)`

  • Mutuellement indépendants si pour toute sélection de `p` événements `A_(i1), A_(i2),...A_(ip)`, on a `P(nn_(j=1)^(p)A_(ij))=prod_(j=1)^(p)P(A_(ij))`

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