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Chapitre 30 :
Généralité sur les variables aléatoires

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Généralité sur les variables aléatoires
Définition : Variable aléatoire réelle

Soit `(Omega,A)` un espace probabilisable. `X` est une variable aléatoire réelle sur `(Omega,A)` si `X` est une application de `Omega` dans `RR` telle que :

`AAx in RR`, `{``omegainOmega`, `X(omega)<=x``}` `inA`.

Remarque

Notations

`(X=x)` signifie `{``omegainOmega` tel que `X(omega)=omega}`

`(a<X)` signifie `{``omegainOmega` tel que `a<X(omega)``}`

`(X<=a)` signifie `{``omegainOmega` tel que `X(omega)<=a``}`

Définition : Fonction de répartition

Soit `X` une variable aléatoire sur `(Omega,A,P)`. La fonction de répartition de `X` est la fonction `F_X` définie sur `RR` et à valeurs dans `RR` par :

`AAx in RR`, `F_X(x)=P(X<=x)`

Théorème : Propriétés de la fonction de répartition

Soient `X` une variable aléatoire sur `(Omega,A,P)` et `F_X` sa fonction de répartition. Alors :

  • `AAx in RR`, `F_X(x)in[0,1]`, `lim_(x=>-oo)F_X(x)=0` et `lim_(x=>+oo)F_X(x)=1`

  • `F_X` est croissante sur `RR`

  • `F_X` est continue à droite en tout point

  • `P(a<X<=b)=F_X(b)-F_X(a)`, avec `a` et `b` dans `RR` tels que `a<b`

Définition : Loi d'une variable aléatoire

Soit `X` une variable aléatoire définie sur `(Omega,A,P)`. On appelle loi de probabilité de `X` l'ensemble `P(X=x)_(x in X(Omega)`

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