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Chapitre 31 :
Variables aléatoires réelles discrètes et lois usuelles

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Variables aléatoires réelles discrètes et lois usuelles
I

Variables aléatoires réelles discrètes

Définition : Variable aléatoire réelle discrète

Soit `(Omega,A)` un espace probabilisable. `X` est une variable aléatoire réelle discrète sur `(Omega,A)` si :

  • `X` est une application de `Omega` dans `RR` telle que `AAx in RR`, `{``omegainOmega`, `X(omega)<=x``}``inA`.

  • `X(Omega)` comporte un nombre fini de valeurs

Théorème : Caractérisation de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle discrète par rapport à sa loi

Soit `S` une variable aléatoire réelle discrète à valeurs dans `ZZ`. Alors :

`AAkinZZ`, `P(X=k)=F_X(k)-F_X(k-1)`

Définition : Tribu engendrée par une variable aléatoire

La tribu engendrée par la variable aléatoire `X` est la tribu engendrée par le système complet d'événements `([X=x])_(x in X(Omega))`.

Théorème : Variable aléatoire `Y=g(X)`

Soient `X` une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisée `(Omega,A,P)` et `g` une fonction définie :

  • Sur `X(Omega)` à valeurs dans `RR`

  • Telle que `AAomegainOmega`, `g(X)(omega)=g(X(omega))`

Alors `Y=g(X)` est une variable aléatoire réelle discrète définie sur `Omega` et :

`AAyinY(Omega)`, `P(Y=y)=sum_(i|g(x_i)=y)P(X=x_i)`

Définition : Espérance d'une variable aléatoire discrète

Soit `X` une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. On dit que `X` admet une espérance si l'une de ces deux conditions est respectée :

  • `X(Omega)` est finie

  • La série `sum_(x in X(Omega))P(X=x)` est absolument convergente.

On a alors `E(X)=sum_(x in X(Omega))P(X=x)`

Théorème : Linéarité de l'espérance

Soit `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles (VAR) et `a,b` deux nombres réels. Alors :

  • `E(aX+b)=aE(X)+b`

  • `E(X+Y)=E(X)+E(Y)`

Théorème : Positivité de l'espérance

Si une variable aléatoire réelle admet une espérance alors :

  • Si elle ne prend que des valeurs positives alors si elle admet une espérance, son espérance est positive

  • Si elle ne prend que des valeurs négatives alors si elle admet une espérance, son espérance est négative

Définition : Variable aléatoire réelle centrée

La variable aléatoire réelle `X` est centrée si `E(X)=0`.

La variable `X-E(X)` est appelée variable aléatoire centrée associée à `X`.

Théorème : Théorème de transfert

Soit `X` une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. Si l'une de ces deux conditions est respectée :

  • `X(Omega)` est finie

  • La série `sum_(x inx(Omega)) g(x)P(X=x)` converge

Alors :

  • La variable aléatoire réelle `g(X)` admet une espérance

  • `E(g(X))=sum_(x in X(Omega))g(x)P(X=x)`

Théorème : Moment d'ordre `r` d'une VAR

Soient `X` une VAR discrète définie sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)` et `r` un entier naturel. Si `X^r` admet une espérance alors on appelle moment d'ordre `r` de `X` :

`E(X^r)`

Définition : Variance

Soit `X` une VAR discrète définie sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)`. Si `X` admet un moment d'ordre 2, alors on appelle variance de `X` :

`V(X)=E((X-E(X))^2)`

Définition : Écart-type

Soit `X` une VAR discrète sur un espace probabilisé `(Omega,A,P)` admettant une variance. On appelle alors écart-type de `X` :

`sigma(X)=sqrt(V(X))`

Théorème : Formules sur la variance

Soient `X` une VAR sur `(Omega,A,P)` admettant une variance et `a,b` deux réels.

  • Formule de Huygens : `V(X)=E(X^2)-E(X)^2`

  • `V(aX+b) = a^2V(X)`

Théorème : Variable centrée réduite

Dire qu'une variable aléatoire réelle `X` est centrée signifie que `sigma(X)=1`.

Si `sigma(X)!=0` alors la variable aléatoire réelle `X^(**)=(X-E(X))/(sigma(X))` est centrée réduite. Son espérance est nulle.

Remarque

Variable aléatoires réelles discrètes constantes

Si `V(X)=0` alors la variable aléatoire réelle `X` est constante.

II

Lois de variables discrètes usuelles

Définition : Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi de Bernouilli de paramètre `p in [0,1]` si :

  • `X(Omega)={0,1}`

  • `P(X=1)=p` et `P(X=0)=1-p`

On note `X→B(1,p)` et on a :

  • `E(X)=p`

  • `V(X)=p(1-p)`

Définition : Loi binomiale

Soient `n` un entier naturel non nul et `p in ]0,1[`. Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi binomiale de paramètres `n` et `p` si :

  • `X(Omega)=[0,n]` (entiers)

  • `AAkin[0,n]`, `P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)`

On note `X→B(n,p)`. On a également :

  • `E(X)=np`

  • `V(X)=np(1-p)`

Définition : Loi uniforme

Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi uniforme sur `[a,b]` (entiers) si :

  • `X(Omega)=[a,b]`(entiers)

  • `AAkin[a,b]`, `k` entier, `P(X=k)=1/(b-a+1)`

On note `X→U[a,b]` et on a :

  • `E(X)=(b-a)/2`

  • `V(X)=((b-a+1)^2-1)/12`

Définition : Loi géométrique

Soit `p in ]0,1[`. Une variable aléatoire réelle `X` suite une loi géométrique de paramètre `p` si :

  • `X(Omega)=NN^(**)`

  • `kinNN^(**)`, `P(X=k)=p(1-p)^(k-1)`

On note `X->G(p)` et on a :

  • `E(X)=1/p`

  • `V(X)=(1-p)/p^2`

La loi géométrique correspond au rang d'apparition du premier succès dans une série d'expériences de Bernouilli indépendantes les unes des autres.

Définition : Loi de Poisson

Soit `lambda` un réel strictement positif. La variable aléatoire réelle `X` suit une loi de Poisson de paramètre `lambda` si :

  • `X(Omega)=NN`
  • `AAkinNN`, `P(X=k)=e^(-lambda)*lambda^k/(k!)`

On note `X->P(lambda)` et on a :

  • `E(X)=lambda`

  • `V(X)=lambda`

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