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Chapitre 33 :
Convergence et approximations : convergence en probabilité et convergence en loi

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Convergence et approximations : convergence en probabilité et convergence en loi
I

Convergence en probabilité

Théorème : Inégalité de Markov

Soit `X` une variable aléatoire à valeurs positives admettant une espérance. Alors :

`AAa>0`, `P(X>=a)<=(E(X))/a`

Théorème : Inégalité de Byenaimé-Tchebychev

Soit `X` une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`AAepsilon>0`, `P(|X-E(X)|>=epsilon)<=(V(X))/epsilon^2`

Définition : Convergence en probabilité

Soient `(X_n)(ninNN)` une suite de variables aléatoires et `X` une variable aléatoire définies sur l'espace probabilisé `(Omega,A,P)`. On dit que `(X_n)` converge en probabilité vers `X` si :

`AAepsilon>0`, `lim_(n->+oo)P(|X_n-X|>epsilon)=0`

On note alors `X_n ""_(->)^P X`.

Théorème : Loi faible des grands nombres pour la loi binomiale

Si `(X_n)` est une suite de variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres `n` et `p`, alors la suite `(X_n/n)` converge en probabilité vers `p`.

II

Convergence en loi

Définition : Convergence en loi

On dit qu'une suite `(X_n)_(ninNN^**)` de variables aléatoires converge en loi vers `X` si pour tout réel `x``F_X` est continue :

`lim_(n->+oo)F_(X_n)(x)=F_X(x)`

On note `X_n""_(->)^L X`.

Exemple

La loi binomiale convergence en loi vers la loi de Poisson

Une suite de variable aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres `(n,lambda/n)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre `lambda`.

Théorème : Théorème de la limite centrale pour la loi binomiale et la loi de Poisson

Si `(X_n)` est une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres `n` et `p` ou la loi de Poisson de paramètre `nlambda`.

Alors la suite de variables aléatoires centrées réduites `(X_n^**)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

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