Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 1 :
Complément d'algèbre linéaire : changement de base et trace

Complément d'algèbre linéaire : changement de base et trace
I

Changement de base

Définition : Matrice associée à un endomorphisme

Soient `finL(E,F)`, `E` de dimension `n` et et `F` de dimension `p in NN`. `AAjin⟦1,p⟧`, on note :

  • `(e_1, ..., e_n)` la base `B_E` de `E`

  • `(f_1, ...,f_n)` la base `F_E` de `F`

  • `(a_(1,j), a_(2,j), ..., a_(n,j))` les coordonnées de `f(e_j)` dans `F_E`

On a donc `f(e_j)=sum_(i=1)^na_(i,j)f_i` et l'on appelle par extension `a_(i,j)` le coordonnée de `f(e_j)` associé au vecteur `f_i`.

On appelle matrice de l'application linéaire `f` relativement aux bases `B_E` et `B_F` la matrice `AinM_(n,p)(RR)``a_(i,j)` est le réel situé sur la `i^(ème)` ligne et la `j^(ème)` colonne.

Définition : Matrice de passage

Soient `E` un espace vectoriel et `B_E` et `B'_(E)` deux bases de `E`. On appelle matrice de passage de la base `B_E` dans la base `B'_(E)` la matrice associée à l'application identité de la base `B_E` dans la base `B'_(E)`.

De plus :

  • On note cette matrice : `P_(B_E,B'_E)`.

  • On a : `P_(B_E,B'_E)=P_(B'_E,B_E)^-1`.

Théorème : Formule du changement de base pour les endomorphismes

Soient :

  • `E` un espace vectoriel de dimension finie

  • `f` un endomorphisme de `E`

  • `B_E` et `B'_E` deux bases de `E`

On appelle `P` la matrice de passage de `B_E` à `B'_E`. Alors :

`M_(B'_E)(f)=P^(-1)M_(B_E)(f)`

Définition : Matrices semblables

Deux matrices carrées `A` et `B` sont dites semblables s'il existe une matrice inversible `P` telle que `B=P^(-1)AP`.

`A` et `B` sont alors les matrices associées à un même endomorphisme dans des bases différentes.

Définition : Sous-espace stable par un endomorphisme

Le sous-espace vectoriel `F` est dit stable par l'endomorphisme `f` si `f(F)subF`

II

Trace d'une matrice carrée

Définition : Trace d'une matrice carrée

La trace d'une matrice carrée `A` notée `Tr(A)` est la somme des coefficients diagonaux de la matrice `A`.

Théorème : Propriétés des traces de matrice carrée

Soient `lambdainRR`, `A,BinM_n(RR)^2`. Alors :

`Tr(lambdaA+B)=lambdaTr(A)+Tr(B)`

De plus, si `P` est une matrice de changement de base :

`Tr(A)=Tr(P^(-1)AP)`

Chapitre suivant : Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées >

Fiches de cours en relation

Questions sur ce chapitre