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Chapitre 2 :
Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées

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Éléments propres des endomorphismes et des matrices carrées
I

Vecteurs propres et valeurs propres d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

Définition : Vecteur propre et valeur propre d'un endomorphisme

Soit `finL(E,F)`. Un réel `lambda` est valeur propre de `f` si il existe `x in E`, tel que :

  • `x!=0_E`

  • `f(x)=lambda*x`

On note alors :

  • `x` le vecteur propre de `f` associé à la valeur propre `lambda`

  • `E_(lambda)` l'ensemble des vecteurs propres associées à la valeur propre `lambda`

`E_(lambda)` est appelé sous-espace propre de `f` associé à `lambda`.

Définition : Vecteur propre et valeur propre d'une matrice

Soit `AinM_n(RR)`. On dit que le réel `lambda` est valeur propre de `A` s'il existe `X inM(n,1)(RR)` tel que `X!=0` et `AX=lambda*X`.

On note alors :

  • `X` le vecteur propre associé à la valeur propre `lambda`

  • `E_(lambda)` l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre `lambda`

`E_(lambda)` est appelé sous-espace propre associé à `lambda`.

Définition : Spectre d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée

On appelle :

  • Spectre de `f` l'ensemble des valeurs propres d'une application `f`

  • spectre de `A` l'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée `A`

On adopte alors la notation `Sp(f)` ou `Sp(A)`.

Théorème : Valeurs propres d'une matrice triangulaire

Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.

Théorème : Polynôme d'endomorphisme et valeurs propres

Soient `Q` un polynôme, `f` un endomorphisme d'un espace vectoriel `E` de dimension `n`, `A` une matrice carrée associée à `f` et `lambdainRR`.

Si `EEx inE`, tel que `f(x)=lambdax`, alors :

`Q(f)(x)=Q(lambda)x`

Si `EEX in RR^n` tel que `AX=lambdaX`, alors :

`Q(A)X=Q(lambda)X`

II

Recherche d'éléments propres

Définition : Polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice

Soit `finL(E)`, `P in RR[X]`, `A` une matrice carrée.

  • `P` est appelé polynôme annulateur de `f` si `P(f)=0_F`.

  • `P` est appelé polynôme annulateur de `A` si `P(A)=0_(M_n(RR)`.

Théorème : Polynôme annulateur et valeur propre

Si `P` est un polynôme annulateur d'une matrice `A` ou d'un endomorphisme `f`. Alors, on a respectivement :

  • Toute valeur propre de `A` est racine de `P`

  • Toute valeur propre de `f` est racine de `P`

Théorème : Existence d'un polynôme annulateur

Admettent au moins un polynôme annulateur non nul :

  • Tout endomorphisme d'un espace de dimension finie

  • Toute matrice carrée

III

Propriétés générales des valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres

Théorème : Sous-espaces propres en somme directe

Soit `f`, un endomorphisme d'un espace de dimension finie :

  • Il admet un nombre fini de valeurs propres

  • Ses sous-espaces propres sont en somme directe

Théorème : Dimension des sous-espaces propres

Soit `f`, un endomorphisme de `E`, un espace de dimension finie :

`sum_(lambdainSp(f))dimker(f-lambdaId_E)<=dim(E)`

Théorème : Vecteurs propres et famille libre

Sont ou forment un famille libre de `E` :

  • Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

  • Une concaténation de familles libres de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes

Théorème : Nombre de valeurs propres

Un endomorphisme d'un espace de dimension `n` admet au plus `n` valeurs propres distinctes.

IV

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Définition : Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme `f` de `E` est dit diagonalisable s'il existe une base de `E` formée de vecteurs propres de `f`.

Si on appelle `B` une base de `E`, `M_B(f)` est une matrice dite diagonalisable.

Théorème : Condition suffisante

Tout endomorphisme `f` de `E` de dimension `n` admettant `n` valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Dans ce cas, les sous-espaces propres de `f` sont tous de dimension `1`.

Théorème : Condition nécessaire et suffisante

Un endomorphisme `f` d'un espace vectoriel `E` de dimension `n` est diagonalisable si et seulement si une de ces deux conditions est respectée :

  • La somme des dimensions des sous-espaces propres associés aux valeurs propres de `E` vaut `n`

  • `E` est somme directe des sous-espaces propres de `f`

Théorème : Interprétation matricielle

Une matrice carrée `A` d'ordre `n` est diagonalisable s'il existe une matrice `D` diagonale et une matrice inversible `P` telles que `D=P^(-1)AP`.

Dans ce cas, les colonnes de `P` forment une base de `M_(n,1)(RR)` composée de vecteurs propres de `A`.

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