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Chapitre 3 :
Algèbre bilinéaire : produit scalaire et espaces euclidiens

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Algèbre bilinéaire : produit scalaire et espaces euclidiens
I

Algèbre linéaire: produit scalaire

Définition : Forme bilinéaire

Soit `E` un espace vectoriel. Une application `phi` de `ExxE` dans `RR` est une forme bilinéaire si :

  • `AA(x,x',y)inE^3`, `AA(a,b)inRR^2`, `phi(ax+bx',y)=a*phi(x,y)+b*phi(x',y)`

  • `AA(x,y,y')inE^3`, `AA(a,b)inRR^2`, `phi(x,ay+by')=a*phi(x,y)+b*phi(x,y')`

Définition : Produit scalaire

Une forme bilinéaire `phi` si `E` est un produit scalaire si :

  • `phi` est symétrique : `AA(x,y)inE^2`, `phi(x,y)=phi(y,x)`

  • `phi` est positive : `AAx in E`, `phi(x,x)>=0`

  • `phi` est définie positive : `AAx in E`, `phi(x,x)=0` `iff` `x=0_E`

Un produit scalaire se note `< , >`.

Définition : Produit scalaire canonique

L'application `(X,Y)->""^tX*Y``X=((x_1),(...),(x_n))` et `Y=((y_1),(...),(y_n))` est un produit scalaire appelé produit scalaire canonique sur `M_(n,1)(RR)`.

L'application qui aux vecteurs `(x_1,...,x_n)` et `(y_1,...,y_n)` associe `sum_(i=1)^nx_i` est appelé produit scalaire canonique de `RR^n`.

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soit `E` un espace vectoriel muni d'un produit scalaire `phi`.

`AA(x,y)inE^2`, `|phi(x,y)|<=sqrt(phi(x,x))*sqrt(phi(y,y))`

Remarque

Égalité de de Cauchy-Schwarz

Dans la précédente formule, il y a égalité si et seulement si la famille `(x,y)` est liée.

Définition : Vecteurs, sous-espaces vectoriels et famille orthogonaux

Dans un espace vectoriel `E`, les vecteurs `x` et `y` sont dits orthogonaux si `<x,y>=0` et on note alors `x_|_y`.

Les sous-espaces vectoriels `F` et `G` de `E` sont dits orthogonaux si `AA(x,y)inFxxG`, `<x,y>`=`0`.

Une famille de vecteurs de `E` est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

Une famille de vecteurs de `E` est orthonormale ou orthonormée si elle est orthogonale et si ses vecteurs sont unitaires, c'est-à-dire que leur norme vaut `1`.

Théorème : Liberté des familles orthogonales

Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Théorème : Théorème de Pythagore

Soit `E` un espace vectoriel :

`AA(x,y)inE`, `x_|_y` `iff` `||x+y||^2=||x||^2+||y||^2`.

II

Espaces euclidiens

Définition : Espace euclidien

Un espace vectoriel de dimension finie sur `RR` muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien.

Théorème : Orthonormalisation de Schmidt

Soit `(f_1,...,f_n)` une famille libre d'un espace euclidien `E`. Alors il existe une famille orthonormale `(e_1,...,e_n)` vérifiant :

`AAiin[1,n]` entier, `Vect(f_1,...,f_i)=Vect(e_1,...,e_n)`

Une telle famille orthonormale peut être construite par récurrence de la manière suivante :

  • `e_1=1/(||f_1||)f_1`

  • `AAiin⟦1,n⟧`, `e_i=1/(||w_i||)w_i``w_i=f_i-sum_(k=1)^(n-1)<f_i,e_k>e_k`.

Théorème : Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale

Tout espace euclidien admet au moins une base orthonormale. Soit `(e_1,...,e_n)` une base orthonormale d'un espace euclidien `E`. Alors `AAx in E` :

  • `x=sum_(i=1)^n<x,e_i>e_i`

  • `||x||^2=sum_(i=1)^n<x,e_i>^2`

Théorème : Expression matricielle

Soit `E` un espace euclidien. `AA(x,y)inE^2` :

  • `<x,y>``=""^tXY`

  • `||x||^2=""^tXX`

Définition : Matrice orthogonale

Une matrice carrée `P in M_n(RR)` est dite orthogonale si `""^tPP=I_n`.

Théorème : Matrice de passage et matrice orthogonale

Soit `E` un espace vectoriel. La matrice de passage entre deux bases orthonormée de `E` est une matrice orthogonale.

Théorème : Supplémentaire orthogonal

Soient `E` un espace vectoriel et `F` un sous-espace vectoriel de `E`. Soit `F^(_|_)` l'unique sous-espace vectoriel de `E` orthogonal à `F` alors `F^(_|_)` est supplémentaire à `F`.

On appelle `F^(_|_)` le supplémentaire orthogonale de `F` et on a `(F^(_|_))^(_|_)=F`.

Théorème : Base orthonormale incomplète

Soit `E` un espace euclidien. Toute famille orthonormale de `E` peut être complétée en une base orthonormale de `E`.

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