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Chapitre 4 :
Introduction aux fonctions définies sur `RR^n`

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Introduction aux fonctions définies sur `RR^n`
Définition : Fonction définie sur `RR^n`

Une fonction définie sur `RR^n` est une fonction qui à tous réels `x_1,...,x_n` de `RR` associe `f(x_1,...,x_n)`.

Définition : Graphe et courbe de niveau

Le graphe de la fonction `f` définie sur `DsubRR^n` est le sous-ensemble de `RR^(n+1)` suivant :

`G={(x_1,...,x_n)inDxxR, y=f(x_1,...,x_n)}`

La courbe de niveau `k` de `f` est l'ensemble :

`{(x_1,...,x_n)inD, f(x_1,...,x_n)=k}`

Définition : Continuité d'une fonction définie sur `RR^n` et à valeurs dans `RR`

Une fonction `f` définies sur `RR^n` est continue en un point `x_0` de `RR^n` si :

`AAepsilon>0, EEr>0, AAx inRR^n`, `||x-x_0||<=r => |f(x)-f(x_0)|<epsilon`

Théorème : Opérations sur les fonctions continues

Sont continues sur `RR^n` :

  • La somme de deux fonctions continues sur `RR^n`

  • Le produit de deux fonctions continues sur `RR^n` .

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions continues sur `RR^n`

  • Les fonctions polynomiales définies sur `RR^n`

Par ailleurs, si `f` est une fonction continue sur `RR^n` et si une fonction `g` est définie et continue sur `f(RR^n)subRR` alors la fonction `g@f` est continue sur `RR^n`.

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