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Chapitre 5 :
Calcul différentiel sur `RR^n`

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Calcul différentiel sur `RR^n`
I

Cacul différentiel : dérivées partielles et gradient.

Définition : Fonction partielle

Soit `UinRR^n`, `f` une fonction définie sur `RR^n` à valeurs dans `RR`. La `i^(ème)` application partielle de `f` au point `A(a_1,...,a_n)` est définie sur `D_i={x in RR | (a_1,...,a_(i-1),x,a_(i+1),...,a_n)inU}` par :

`AA x in D_i`, `f_i(x)=f(a_1,...,a_(i-1),x,a_(i+1),...,a_n)`

Définition : Dérivée partielle d'ordre 1

Soit `f` une fonction définie sur `RR^n`. `f` admet une dérivée partielle d'ordre 1 en `x_0` par rapport à `x_i` si l'application partielle `f_(x_i)` est dérivable en `x_0`, ce qui signifie que `lim_(x->x_0)(f_(x_i)(x)-f_(x_i)(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie.

On note alors la dérivée partielle par rapport à `x_i` : `(deltaf)/(deltax_i)` ou `delta_i(f)`.

Définition : Gradient

Soient `f`une fonction définie sur `RR^n`. On appelle gradient de `f` au point `x inRR^n` :

`grad(f)(x)=((delta(f))/(deltax_1)(x),..,(delta(f))/(deltax_n)(x))`

Définition : Fonction de classe `C^1`

Soit `f` une fonction définie sur `RR^n`. Si `AAi in [1,n]` entier, `(deltaf)/(deltax_i)` est continue sur `RR^n`, `f` est dite de classe `C^1` sur `RR^n`.

`f` est alors continue sur `RR^n`.

Théorème : Opération sur les fonctions de classe `C^1`

Sont de classe `C^1` sur `RR^n` :

  • La somme de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^n`

  • Le produit de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^n`

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^n`

Par ailleurs, si `f` est une fonction de classe `C^1` sur `RR^n` et si une fonction `g` est définie et de classe `C^1` sur `f(RR^n)subRR` alors la fonction `g@f` est de classe `C^1` sur `RR^n`.

Théorème : Fonctions de classe `C^1` et développement limité d'ordre 1

Tout fonction `f` de classe `C^1` sur `RR^n` admet un unique développement limité d'ordre 1 en chaque point de `h` de `RR^n` tel que au voisinage de `h` :

`f(x+h)=f(x)+<grad(f)(x),x>+||h||epsilon(h)`

Avec :

  • `epsilon(0)=0`

  • `epsilon` est continue en `0`

II

Calcul différentiel : dérivée directionnelle

Théorème : Équation d'une droite passant par un point

La droit passant par `x` et de vecteur directeur `u` est la droite d'équation :

`AAtinRR`, `t->x+tu`

Définition : Dérivée directionnelle

Soient `f` une fonction définie sur `RR^n` et de classe `C^1` au voisinage de `A` in `RR^n`, `X in RR^n`.

La fonction `g` définie au voisinage de `0` par `g(t)=f(A+tX)` est appelée dérivée directionnelle de `f` au point `A` suivant la direction `X`.

`g` est dérivable en `0` et `g'(0)=<gradf(A),X>`.

III

Calcul différentiel : recherche d'extremum, condition d'ordre 1

Définition : Minimum et maximum locaux

Soit `f` une fonction définie sur `RR^n`.

  • `f` admet un minimum local sur en `x_0 in RR^n` s'il existe un voisinage `V` de `x_0` tel que : `AAx in V`, `f(x)>=f(x_0)`

  • `f` admet un maximum local sur en `x_0 in RR^n` s'il existe un voisinage `V` de `x_0` tel que : `AAx in V`, `f(x)<=f(x_0)`

Définition : Minimum et maximum globaux

Soit `f`une fonction définie sur `RR^n`.

  • `f` admet un minimum global en `min RR^n` si `AAX in RR^n`, `f(X)>=f(m)`

  • `f` admet un maximum global en `MinRR^n` si `AAX in RR^n`, `f(X)<f(M)`.

Théorème : Condition nécessaire

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `RR^n`. Si `f` admet un extremum local en `x_0inRR^n`, alors :

`grad(f)(x_o)=0`

Définition : Point critique

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `RR^n`. `f` admet un point critique en `x_0inRR^n` si :

`grad(f)(x_o)=0`

Théorème : Dérivée directionnelle en un point critique

Une dérivée directionnelle en un point critique d'une fonction est nulle.

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