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Chapitre 7 :
Couples de variables aléatoires réelles

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Couples de variables aléatoires réelles
I

Cas général et indépendance

Définition : Loi d'un couple de variables aléatoires réelles

La loi d'un couple `(X,Y)` de variables aléatoires réelles est données par la fonction `F_(X,Y)` définie par :

`AA(x,y)inRR^2`, `F_(X,Y)(x,y)=P([X<=x]nn[Y<=y])`

Théorème : Composition de couples de variables aléatoires réelles

Si les deux conditions suivantes sont réunies :

  • Deux couples `(X_1,Y_1)` et `(X_2,Y_2)` de variables aléatoires ont même loi

  • `g` est une fonction continue sur `RR^2` à valeurs dans `RR`

Alors les variables aléatoires `g(X_1,Y_1)` et `g(X_2,Y_2)` ont même loi.

Définition : Indépendance de deux variables aléatoires

Deux variables aléatoires réelles `X` et `Y` sont indépendantes si :

`AA(x,y)inRR^2`, `P([X<=x]nn[Y<=y])=P(X<=x)P(Y<=y)`

Théorème : Caractérisation de l'indépendance

Les variables aléatoires réelles `X` et `Y` sont indépendantes si et seulement si une de ces deux conditions est respectées :

  • Pour tous intervalles `I` et `J` de `RR`, `P([X in I]nn[YinJ])=P(X in I)P(Y in I)`

  • Tout événement `E_1` de `A_X` est indépendant de tout événement `E_2` de `A_Y`

Théorème : Espérance conditionnelle et indépendance

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles indépendantes. Si `F inA_Y` est de probabilité non nulle, alors :

`E(X)=E_F(X)`

II

Couples de variables aléatoires réelles discrètes

Définition : Loi de probabilité d'un couple de variables aléatoires discrètes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes. On appelle loi du couple de variables aléatoires `(X,Y)` ou loi conjointe des variables aléatoires `X` et `Y` l'ensemble :

`{(x,y)inX(Omega)xxY(Omega), P(X=x,Y=y)}`

Théorème : Caractérisation des deux variables aléatoires discrètes indépendantes

Deux variables aléatoires réelles discrètes `X` et `Y` sont indépendantes si et seulement si :

`AA(x,y)inX(Omega)xxY(Omega)`, `P([X=x]nn[Y=y])=P(X=x)P(Y=y)`

Théorème : Loi de la somme de deux variables aléatoires discrètes et indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes. Alors :

`P([X+Y=z])=sum_(x in X(Omega))P(X=x)P(Y=z-x)`

Théorème : Stabilité des loi binomiales

Soient `X` et `Y`, deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant respectivement les lois binomiales de paramètres `(m,p)` et `(n,p)`.

Alors la variable aléatoire `X+Y` suit la loi binomiale de paramètres `(m+n,p)`.

Théorème : Stabilité des lois de Poisson

Soient `X` et `Y`, deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant respectivement les lois de Poisson de paramètres `lambda_1` et `lambda_2`.

Alors la variable aléatoire `X+Y` suit la loi de Poisson de paramètre `lambda_1+lambda_2`.

Définition : Loi marginale d'un couple de variables aléatoires

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires réelles. On appelle lois marginales du couple `(X,Y)` la loi de `X` et la loi de `Y`.

Définition : Loi conditionnelle d'un couple de variables aléatoires

Soient `(X,Y)` un couple de variables aléatoires réelles et `yinY(Omega)` tel que `P(Y=y)!=0`. On appelle loi conditionnelle de `X` relativement à l'événement `[Y=y]` l'ensemble :

`{x in X(Omega), P_([Y=x])(X=x)}`

Théorème : Loi d'une variable fonction de deux variables aléatoires discrètes

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires discrètes et

  • `g` une fonction définie sur l'ensemble des valeurs prises par le couple `(X,Y)`

  • `Z` la variable aléatoire définie par `Z=g(X,Y)`

Alors :

`P(Z=z)=sum_((x,y)inX(Omega)*Y(Omega), g(x,y)=z)P(X=xnnY=y)`

Théorème : Théorème de transfert

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires discrètes, `g` une fonction définie sur l'ensemble des valeurs prises par le couple `(X,Y)`.

Si `sum_((x,y)inX(Omega)xxY(Omega))g(x,y)P([X=x]nn[Y=y])` converge absolument, alors :

`E(g(X,Y))=sum_((x,y)inX(Omega)xxY(Omega))g(x,y)P([X=x]nn[Y=y])`

Théorème : Linéarité de l'espérance

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance et `a` un réel quelconque. Alors :

`E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)`

Théorème : Produit de l'espérance de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant une espérance. Alors :

`E(XY)=E(X)*E(Y)`

Définition : Covariance deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre2. On appelle covariance de `X` et `Y` :

`cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]`

Théorème : Propriétés de la covariance

Soient `X,Y,Z` trois variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2 et `(a,b)inRR^2`.

  • `cov(aX+bY,Z)=acov(A,Z)+bcov(Y,Z)`

  • `cov(X, aY+bZ)=acov(X,Y)+b(cov(X,Z)`

  • `cov(X,Y)=cov(Y,X)`

  • `AAx in RR`, `cov(X,x)=0`

Théorème : Formule de Huygens

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`conv(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)`.

Conséquence : si `X` et `Y` sont indépendantes, `cov(X,Y)=0`, mais la réciproque est fausse.

Définition : Coefficient de corrélation linéaire

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment une covariance et d'écart-type non nul. On appelle coefficient de corrélation de `X` et `Y` :

`rho(X,Y)=(cov(X,Y))/(sigma(X)*sigma(Y)`

Théorème : Propriétés du coefficient de corrélation linéaire

`|rho(X,Y)|<=1` et les variables `X` et `Y` sont :

  • Pas corrélées si `rho(X,Y)=0`

  • Corrélées positivement si `rho(X,Y)>0` : `Y` a tendance à augmenter quand `X` augmente et réciproquement

  • Corrélées négativement si `rho(X,Y)<0` : `Y` a tendance à diminuer quand `X` augmente et réciproquement

Théorème : Variance de la somme deux variables aléatoires réelles discrètes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)`

Théorème : Variance de la somme deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`V(X+Y)=V(X)+V(Y)`

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