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Chapitre 34 :
`n`-uplets de variables aléatoires réelles

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`n`-uplets de variables aléatoires réelles
Définition : Loi d'un vecteur aléatoire à valeurs dans `RR^n`

La loi d'un vecteur aléatoire `(X_1,...,X_n)` est donnée par la fonction `F_(X_1,...,X_n)` définie par :

`AA(x_1,...,x_n)inRR^n`, `F_(X_1,...,X_n)(x_1,...,x_n)=P(nn_(i=1)^n([X_i<=x_i])`

Définition : Loi marginale

La loi marginale d'un vecteur aléatoire `(X_1,...,X_n)` est la loi d'une variable aléatoire `X_i` avec `iin[1,n]` entier.

Théorème : Caractérisation de la loi d'un vecteur aléatoire à valeurs dans `RR^n`

La loi du vecteur aléatoire `(X_1,..X_n)` à valeurs dans `RR^n` correspond à l'ensemble :

`{(x_1,...,x_n)inX_1(Omega)xx...xxX_n(Omega), P([X_1=x_1]nn...nn[X_n=x_n])}`

Théorème : Composition de `n`-uplets de variables aléatoires réelles

Si deux vecteurs aléatoires `(X_1,...,X_n)` et `(Y_1,...,Y_n)` ont même loi et si `g` est une fonction continue à valeurs dans `RR`, alors les variables aléatoires réelles `g(X_1,...,X_n)` et `g(Y_1,...,Y_n)` ont même loi.

Théorème : Espérance d'unes somme de variables aléatoires discrètes

Soit `(X_i)_(iin[1,n])`, `i` entier une suite de variable aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant une espérance. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une espérance

  • `E(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nE(X_i)`

Théorème : Conservation de l'inégalité

Si `X` et `Y` sont deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que `X<=Y` presque sûrement, alors :

`E(X)<=E(Y)`

Théorème : Existence d'une espérance par comparaison

Si `X` et `Y` sont deux variables aléatoires telles que `0<=|X|<=Y` presque sûrement et telles que `Y` admet une espérance, alors `X` admet également une espérance et :

`|E(X)|<=E(Y)`.

Définition : Indépendance mutuelle

Soient `(X_i)`, `i` entier compris entre 1 et `n`, `n` variables aléatoires. On dit que les variables `(X_i)` sont mutuellement indépendantes si :

`AA(x_1, x_2, ..., x_n)inRR^n`, `F_(X_1,...,X_n)(x_1,...,x_n)=prod_(i=1)^nF_(X_i)(x_i)`

Théorème : Caractérisation de l'indépendance mutuelle

Les variables aléatoires `X_1,...,X_n` sont mutuellement indépendantes si et seulement si une de ces conditions est respectée :

  • Pour toute famille (`I_1,...,I_n`) d'intervalles de `RR`, `P nn_(i=1)^n (X_iinI_i)=prod_(i=1)^nP(X_iinI_i)`

  • Toute famille d'événements `(E_1,...,E_n)` telle que `AAiin[1,n]`, `E_iinA_(X_i)` est une famille d'événements mutuellement indépendantes

  • `AA(x_1, ..., x_n)inX_1(Omega)xx...xxX_n(Omega)`, `P(nn_(iin[1,n])[X_i=x_i])=prod_(iin[1,n])P([X_i=x_i])`

Théorème : Lemme des coalitions

Soit `(X_i)_(iin[1,n])` `i` entier une suite de variables aléatoires réelles discrètes indépendantes et `p in NN` tel que `p<n`.

Alors tout variable fonction de `X_1, X_2, ..., X_p` est indépendante de toute variable aléatoire fonction de `X_(p+1), ..., X_n`.

Théorème : Espérance du produit de variables aléatoires indépendantes

Soient `X_1,...,X_n` des variables aléatoires indépendantes. Alors `X_1*...*X_n` admet une espérance et :

`E(prod_(i=1)^nX_i)=prod_(i=1)^nE(x_i)`

Théorème : Variance d'une somme de variables aléatoires discrètes

Soit `(X_i)(iin [1,n])` `i` entier une suite de variable aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une variance

  • `V(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nV(X_i)+2sum_(1<=i<j<=n)cov(X_i,Y_j)`

Théorème : Somme de `n` variables aléatoires de Bernouilli indépendantes

La somme de `n` variables aléatoires de Bernouilli indépendantes et d'espérance `p` suit la loi binomiale de paramètres `n` et `p`.

Théorème : Stabilité des loi binomiales

Soient `X_1,...,X_n` des variables aléatoires indépendanes suivant respectivement les lois binomiales de paramètres `(m_1,p),...,(m_n,p)`.

Alors la variable aléatoire `sum_(i=1)^nX_i` suit la loi binomiale de paramètres `(sum_(i=1)^nm_i,p)`.

Théorème : Stabilité des lois de Poisson

Soient `X_1,...,X_n` des variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois de Poisson de paramètres `lambda_1,...,lambda_n`.

Alors la variable aléatoire `sum_(i=1)^nX_i` suit la loi de Poisson de paramètre `sum_(i=1)^nlambda_i`.