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Chapitre 8 :
Symétrie d'un endomorphisme et d'une matrice et projection othogonale

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Symétrie d'un endomorphisme et d'une matrice et projection othogonale
I

Endomorphismes symétriques d'un espace euclidien et matrices symétriques

Définition : Endomorphisme symétrique

Soit `f` un endomorphisme sur un espace euclidien `E`. On dit que `f` est symétrique si :

`AA(x,y)inE^2`, `<f(x),y>=<x,f(y)>`

Théorème : Lien entre endomorphismes et matrices

Un endomorphisme est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Théorème : Propriétés des endomorphismes symétriques
  • Soit `f` un endomorphisme symétrique et `F` un sous-espace vectoriel stable par `f`. Alors `F^(_|_)` est stable par `f`.

  • Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique d'un espace vectoriel de dimension finie sont deux à deux orthogonaux.

II

Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques

Théorème : Endomorphismes symétriques et diagonalisation

Soit `E` est un espace euclidien et `f` un endomorphisme symétrique de `E` :

  • `f` est diagonalisable

  • Ses sous-espaces propres sont orthogonaux

Théorème : Endomorphismes symétriques et vecteurs propres

Si `E` est un espace euclidien et `f` un endomorphisme symétrique , il existe une base orthonormée de `E` composée de vecteurs propres de `f`.

Théorème : Matrices symétriques et diagonalisation

Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable avec comme matrice de changement de base une matrice orthogonale.

III

Projection orthogonale

Définition : Projection orthogonale

Soient `E` un espace euclidien, `F` un sous-espace vectoriel de `E` et `x in E`. `yinE` est un projeté orthogonal de `x` sur `F` si ces deux conditions sont réunies :

  • `yinF`
  • `x-yinF^(_|_)`

On note `y=p_F(x)`.

Théorème : Coordonnées d'une projection orthogonale dans une base orthonormale

Si `(e_1,...,e_n)` est une base orthonormale d'un sous-espace vectoriel `F` d'un espace euclidien `E`. Alors :

`AAx in E`, `p_F(x)=sum_(i=1)^n<x,e_i>e_i`

Théorème : Projecteurs et projecteurs orthogonaux

Un projecteur `p` est orthogonale si et seulement si `p` est un endomorphisme symétrique.

Théorème : Caractérisation d'un projecteur

Soient `E` un espace euclidien, `F` un sous-espace vectoriel de `E`. Soit `x in E` et `yinF` :

`y=p_F(x)` `iff` `||x-y||=min_(yinF)||x-y||`

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