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Chapitre 9 :
Extension de la notion de fonction réelle de `n` variables

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Extension de la notion de fonction réelle de `n` variables
Définition : Limite

Soient `f` une fonction sur `UinRR^n` dans `RR` et `X in U`. `f` admet une limite `l` en `X` si :

`AAepsilon>0`, `EEnu>0`, `AAYinU`, `||Y-X||<=nu` `=>` `|f(Y)-l|<=epsilon`.

Définition : Continuité

Soient `f` une fonction sur `UinRR^n` dans `RR` et `X in U`. On dit que `f` est continue sur `U` si l'une des quatre propositions suivantes est satisfaite :

  • Pour tout voisinage `V_1` de `f(X)` (`V_1subRR`), il existe un voisinage `V_2` de `X` (`V_2subRR^n`) tel que `f(V_1)subV_2`.

  • Pour tout voisinage `V` de `f(X)` dans `RR`, `f^(-1)(V)` est un voisinage `X`.

  • `AAepsilon>0`, `EEnu>0`, `AAYinU`, `||Y-X||<nu` `=>` `|f(Y)-f(X)|<epsilon`.

  • `f` admet une limite en `X` qui vaut `f(X)`.

Définition : Dérivée partielle d'ordre 1

Soit `f` une fonction définie sur `UsubRR^n`. `f` admet une dérivée partielle d'ordre 1 en `x_0` par rapport à `x_i` si l'application partielle `f_(x_i)` est dérivable en `x_0`.

Cela signifie que `lim_(x->x_0)(f_(x_i)(x)-f_(x_i)(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie.

On note alors la dérivée partielle par rapport à `x_i` `(deltaf)/(deltax_i)` ou `delta_i(f)`.

Définition : Gradient

Soient `f`une fonction définie sur `UsubRR^n`. On appelle gradient de `f` au point `x inU` :

`grad(f)(x)=((delta(f))/(deltax_1)(x),..,(delta(f))/(deltax_n)(x))`

Définition : Fonction de classe `C^1`

Soit `f` une fonction définie sur `UsubRR^n`. Si `AAi in [1,n]` entier, `(deltaf)/(deltax_i)` est continue sur `U`, `f` est dite de classe `C^1` sur `U`.

`f` est alors continue sur `U`.

Théorème : Développement limité d'ordre 1

Tout fonction `f` de classe `C^1` sur `UinRR^n` admet un unique développement limité d'ordre 1 en chaque point de `h` de `U` tel que, au voisinage de `h` :

`f(x+h)=f(x)+<grad(f)(x),x>+||h||epsilon(h)`

Avec :

  • `epsilon(0)=0`

  • `epsilon` est continue en `0`

Définition : Dérivée directionnelle

Soient `f` une fonction définie sur `UinRR^n` et de classe `C^1` au voisinage de `A` in `U`, `X in RR^n`.

La fonction `g` définie au voisinage de `0` par `g(t)=f(A+tX)` est appelée dérivée directionnelle de `f` au point `A` suivant la direction `X`.

On a alors :

  • `g` est dérivable en `0`

  • `g'(0)=<gradf(A),X>`

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