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Chapitre 10 :
Fonctions de `n` variables de classe `C^2`

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Fonctions de `n` variables de classe `C^2`
Définition : Dérivée partielle d'ordre 2

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `UsubRR^n`. Si les dérivées partielles par rapport à `x_i`de `f` admettent elles-mêmes des dérivées partielles par rapport à `x_j`, alors on dit que `f` admet des dérivées partielles d'ordre 2 en `X in U`.

Elles sont notées :

  • `(delta^2f)/(deltax_jdeltax_i)(X)` ou `delta/(deltax_j)(deltaf)/(deltax_i)(X)` lorsque `i!=j`

  • `(delta^2f)/(deltax_i^2)(X)` lorsque `i=j`

Définition : Fonction de classe `C^2`

On dit que `f` est de classe `C^2` sur `U` si `f` est de classe `C^1` et si ses dérivées partielles d'ordre 1 sont aussi de classe `C^1`.

Une fonction de classe `C^2` est de classe `C^1`.

Théorème : Opération sur les fonctions de classe `C^2`

Sont de classe `C^2` sur `U` :

  • La somme de deux fonctions de classe `C^2` sur `U in RR^n`

  • Le produit de deux fonctions de classe `C^2` sur `U in RR^n`

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions de classe `C^2` sur `U in RR^n`

  • Les fonctions polynomiales

Par ailleurs, si `f` est une fonction de classe `C^2` sur `U in RR^n` et si une fonction `g` est définie et de classe `C^2` sur `f(U)subRR` alors la fonction `g@f` est de classe `C^2` sur `U`.

Théorème : Théorème de Schwartz

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `UsubRR^n`, `U` ouvert. Alors, `AA x in U` et pour tous entiers `i` et `j` compris entre `1` et `n` :

`(delta^2f)/(deltax_ideltax_j)(x)=(delta^2f)/(deltax_jdeltax_i)(x)`

Définition : Hessienne

Soit `f`une fonction de classe `C^2` sur `UsubRR^n`. On appelle hessienne de `f` au point `x in U` la matrice :

`H_x=((delta^2f)/(deltax_idelta_j)(x))_(1<=i,j<=n)`

Théorème : Fonctions de classe `C^2` et matrices hessiennes

Si une fonction `f` est de classe `C^2` sur un ouvert `U` de `RR^n`, alors sa matrice hessienne est symétrique en tout point de `U`.

Définition : Forme quadratique associée à une hessienne

Si `f` est de classe `C^2` sur `UsubRR^n`, on note `q_A` la forme quadratique associée à la hessienne en `A` :

`AA x in RR^n`, `q_A(x)=""^tXH_AX`

Définition : Développement limité d'ordre 2

Si `f` est un fonction de classe `C^2` sur l'ouvert `UinRR^n`, `f` admet un unique développement limité en tout point de `h` de `U` et `AA x` au voisinage de `h` :

`f(x+h)=f(x)+<grad(f)(x), h>+1/2q_x(h)+||h||^2epsilon(h)`

Où l'on a :

  • `epsilon(0)=0`

  • `epsilon` continue en `0`

Théorème : Dérivée directionnelle

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `U in RR^n`. La dérivée directionnelle de `x` dans la direction `h` est `q_x(h)`.

Si `g(t)=f(x+th)` alors `g''(t)=q_(x+th)(h)` et donc `g''(0)=q_x(h)`.

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