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Chapitre 11 :
Recherche d'extrema

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Recherche d'extrema
I

Définition

Définition : Minimum et maximum locaux

Soit `f` une fonction définie sur un ouvert `U` de `RR^n`.

  • `f` admet un minimum local sur en `x_0 in U` s'il existe un voisinage `V` de `x_0` tel que `AAx in V`, `f(x)>=f(x_0)`

  • `f` admet un maximum local sur en `x_0 in U` s'il existe un voisinage `V` de `x_0` tel que `AAx in V` `f(x)<=f(x_0)`.

Définition : Minimum et maximum globaux

Soit `f`une fonction définie sur un ouvert `U` de `RR^n`.

  • `f` admet un minimum global en `m inU` si `AAX in U`, `f(X)>=f(m)`

  • `f` admet un maximum global en `MinU` si `AAX in U`, `f(X)<f(M)`

II

Extrema sur un ensemble fermé borné

Théorème : Existence d'un maximum et minimum global

Une fonction continue sur une partie fermée et bornée admet un maximum global et un minimum global.

Théorème : Application

Si `q` est une forme quadratique associée à une matrice symétrique `A` alors `q` admet un maximum global sur l'ensemble fermé borné `{x in RR^n | ||x||=1}`.

Il existe alors deux réels `a` et `b` tels que `AA h in RR^n`, `a||h||^2<=q(h)<=b||h||^2`.

III

Condition d'ordre 1

Théorème : Condition nécessaire du premier ordre

Si une fonction de classe `C^1` sur l'ouvert `U` de `RR^n` admet un extremum local en un point `x_0` de `U` alors `Delta(f)(x_0)=0`.

Définition : Point critique

Soit `U` une fonction de classe `C^1` sur `UsubRR^n`. Les points critiques de `f` sont les points où le gradient de `f` s'annule.

Toutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles.

IV

Exemples de recherches d'extrema sous une contrainte quelconque

Remarque

Pour ce chapitre, on considère :

  • `U` un ouvert de `RR^n`

  • `varphi` une fonction de classe `C^1` sur `U`

  • `C` l'ensemble des points `x` de `U` vérifiant la contrainte `varphi(x)=c`. `CnnU!= \O`.

  • `AAx in C`, `grad(varphi)(x)!=0` (la contrainte `C` est non critique)

Définition : Extremum sous contrainte

La fonction `f` définie sur `U` admet un extremum (local ou global) sous la contrainte `C` au point `X in CnnU` si la restriction `f_(|CnnU)` admet un extremum au point `X`.

Théorème : Condition nécessaire du premier ordre

Si `f` est une fonction de classe `C^1` sur `U`, `f` admet un extremum global en `x_0` sous la contrainte `C` s'il existe `lambdainRR`, tel que :

`varphi(x_0)=c` et `grad(f)(x_0)=lambdagrad(varphi)(x_0)`

Théorème : Application à l'encadrement d'une forme quadratique

Si `q` est une forme quadratique associée à une matrice symétrique `H`, alors :

  • `q` admet un maximum global sous la contrainte `||x||=1` en un point correspondant à un vecteur propre de la matrice `H` associé à la plus grande valeur propre.

  • `q` admet un minimum global sous la contrainte `||x||=1` en un point correspondant à un vecteur propre de la matrice `H` associé à la plus petite valeur propre.

V

Condition d'ordre 2

Remarque

Dans ce chapitre, on considère `f` une fonction de classe `C^2` sur un ouvert `U` de `RR^n` et `x_0` un point critique de `f`.

Théorème : Condition suffisante du deuxième ordre
  • Si les valeurs propres de `grad^2f(x_0)` sont strictement positives alors `f` admet un minimum local en `x_0`.

  • Si les valeurs propres de `grad^2f(x_0)` sont strictement négatives alors `f` admet un maximum local en `x_0`.

  • Si `grad^2f(x_0)` admet deux valeurs propres non nulles de signes distincts, `f` n'admet pas d'extremum en `x_0`.

Théorème : Conséquence de la condition suffisante du deuxième ordre

Si la forme quadratique associée à `f` en `x_0` est strictement positive, `f` admet un minimum local en `x_0`.

Si la forme quadratique associée à `f` en `x_0` est strictement négative, `f` admet un maximum local en `x_0`.

VI

Recherche d'extrema sous contrainte d'égalités linéaires

Remarque
  • Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur un ouvert `UsubRR^n`

  • Soit `C` l'ensemble des solutions du systèmes linéaires `g_1(x)=b_1`, ..., `g_p(x)=b_p` et `H` l'espace vectoriel associé

Théorème : Condition nécessaire du premier ordre

Si la restriction de `f` à `C` admet un extremum local en `x_0 in CnnU`, `AA A in H`, alors `grad(f)(x_0) in Vect(grad(g_1)(x_0),...,grad(g_p)(x_0))` et `AA h in H`, la dérivée directionnelle dans la direction `h` est nulle.

Remarque

`H^(_|_)=Vect(grad(g_1)(x_0),...,grad(g_p)(x_0))`

Définition : Point critique pour l'optimisation sous contrainte

`x_0inUnnC` est un point critique de `f` sous la contrainte `C` si `Deltaf(A)inH^(_|_)`.

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