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Chapitre 12 :
Convergences et approximations

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Convergences et approximations
I

Convergence en probabilité

Théorème : Inégalité de Markov

Soit `X` une variable aléatoire à valeurs positives admettant une espérance. Alors :

`AAa>0`, `P(X>=a)<=(E(X))/a`

Théorème : Inégalité de Byenaimé-Tchebychev

Soit `X` une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`AAepsilon>0`, `P(|X-E(X)|>=epsilon)<=(V(X))/epsilon^2`

Définition : Convergence en probabilité

Soient `(X_n)(ninNN)` une suite de variables aléatoires et `X` une variable aléatoire définies sur l'espace probabilisé `(Omega,A,P)`. On dit que `(X_n)` converge en probabilité vers `X` si :

`AAepsilon>0`, `lim_(n->+oo)P(|X_n-X|>epsilon)=0`

On note alors `X_n ""_(->)^P X`.

Théorème : Loi faible des grands nombres

Soit :

  • `(X_n)_(ninNN^**)` une suite de variables aléatoires indépendantes de même espérance `m` et de même variance.

  • `AAninNN^**`, `bar(X)_n=(sum_(i=1)^nX_i)/n`

Alors, `AAepsilon>0`, `lim_(n->+oo)P(|bar(X)_n-m|>=epsilon)=0`

Théorème : Composition par une fonction continue

Si `X_n""_(->)^PX` et si `f` est une fonction continue sur `RR` à valeurs réelles, alors `f(X_n)""_(->)^Pf(X)`.

II

Convergence en loi

Définition : Convergence en loi

On dit qu'une suite `(X_n)_(ninNN^**)` de variables aléatoires converge en loi vers `X` si `lim_(n->+oo)F_(X_n)(x)=F_X(x)` pour tout réel `x``F_X` est continue.

On note `(X_n)""_(->)^L X`.

Remarque

Cas où les `X_n` et `X` prennent leurs valeurs dans `ZZ`

La suite de variables aléatoires `(X_n)_(ninNN^**)` converge en loi vers `X` si :

`kinZZ`, `lim_(n->+oo)P(X_n=k)=P(X=k)`

Exemple

Exemple classique

Une suite de variable aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres `(n,lambda/n)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre `lambda`.

Théorème : Théorème de Slutsky

Si ces deux conditions sont réunies :

  • La suite de variables aléatoires `(x_n)_(ninNN^**)` converge en loi vers `X`

  • La suite de variables aléatoires `(Y_n)_(ninNN^**)` converge en probabilité vers une constante `c`

Alors :

  • La suite `(X_n+Y_n)_(ninNN^**)` converge en loi vers `X+c`

  • La suite `(X_nY_n)_(ninNN^**)` converge en loi vers `cX`.

Théorème : Théorème de la limite centrale

Soit :

  • `(X_n)_(ninNN^**)`, une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi et admettant une variable `sigma^2` non nulle.

  • `bar(X)_n=(sum_(i=1)^nX_i)/n` avec `ninNN^**`

Alors `bar(X)_n^**=sqrt(n)((bar(X)_n-m)/sigma)` avec `ninNN^**` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

On en déduit `AA(a,b)inbar(R)^2` :

`lim_(n>+oo)P(a<=bar(X)^**_n<=b)=int_a^b1/(sqrt(2pi))exp(-t^2/2)dt`

Exemple

Exemple de l'application du théorème de la limite centrale pour la loi binomiale et la loi de Poisson

Si `(X_n)` est une suite de variables aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres `n` et `p` ou la loi de Poisson de paramètre `nlambda` alors la suite de variables aléatoires centrées réduites `(X_n^**)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

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