Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 13 :
Estimation

< Chapitre précédent : Convergences et approximations
Estimation
I

Estimation ponctuelle

Définition : `n`-échantillon

Soit `X` une variable aléatoire réelle définie sur une espace probabilisé `(Omega,A,P)`.

Est appelé `n`-échantillon de la variable `X` tout `n`-uplet `(X_1,..,X_n)` de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probablité `(Omega,A,P)` et de même loi que `X`.

Définition : Estimateur

Soient `ninNN^**`, `(X_i)_(iin [1,n]`, `i` entier) une suite de variables aléatoires réelles dépendant d'un paramètre `theta` et `g` une fonction.

Un estimateur de `g(theta)` est une variable aléatoire de la forme `T_n=varphi(X_1,...,X_n)`.

Lorsqu'on a un échantillon de données `(x_1,...,x_n)`, `varphi(x_1,...,x_n)` est une estimation de `theta`.

Définition : Moyenne empirique

Soit `(X_1,...,X_n)` un `n`_échantillon d'une variable aléatoire `X` dont la loi dépend d'un paramètre `theta`.

Alors la variable `bar(X)_n = (sum_(i=1)^n X_i)/n` est un estimateur de `theta` appelé moyenne empirique de l'échantillon.

Définition : Biais d'un estimateur

Soit `T_n` un estimateur d'un paramètre `g(theta)`. Si `AAthetainRR`, `T_n` admet une espérance, alors on appelle biais de l'estimateur `T_n`

`b(T_n)=E(T_n-g(theta))=E(T_n)-g(theta)`

On a donc `b(T_n)=0` `iff` `E(T_n)=g(theta)` et on dit dans ce cas que `T_n` est un estimateur sans biais.

Définition : Suite d'estimateurs

Soit `theta` un paramètre d'une suite de variables aléatoires `X_1,...,X_n`.

`(T_n)_(ninNN^**)` est une suite d'estimateur de `g(theta)` si : `AAninNN^**`, `T_n` est un estimateur de `g(theta)`

`AAninNN^**`, `T_n` est alors de la forme `T_n=varphi(X_1,...,X_n)`.

Définition : Risque quadratique

Soit `T_n` un estimateur de `g(theta)`. Si `AAthetainRR`, `T_n` admet un moment d'ordre 2, on appelle risque quadratique de l'estimateur `T_n` :

`r(T_n)=E([T_n-g(theta)]^2)=(b(T_n))^2+V(T_n)`

Théorème : Composition par une fonction continue

Si ces deux conditions sont réunies :

  • `(T_n)_(n>=1)` est une suite d'estimateurs convergents de `g(theta)`

  • `f` est une fonction continue sur `RR` à valeurs réels

Alors `(f(T_n))_(n>=1)` est une suite convergente d'estimateurs de `f(g(theta))`.

Définition : Estimateur asymptotiquement sans biais

Une suite `(T_n)_(n>=1)` d'estimateurs de `g(theta)` est dite asymptotiquement sans biais si :

`AAtheta in RR`, `lim_(n->+oo)E_(theta)(T_n)=g(theta)`

Définition : Estimateur convergent

Une suite d'estimateur `(T_n)_(ninNN^**)` de `g(theta)` est convergente si `AAthetainRR` :

`AAepsilon>0`, `lim_(n->+oo)P_(theta)(|T_n-g(theta|>epsilon)=0`

Théorème : Convergence d'une suite d'estimateurs

Si `AAthetainRR`, `lim_(n->+oo)r_(theta)(T_n)=0` : la suite d'estimateur `(T_n)_(ninNN^**)` de `g(theta)` converge.

La réciproque est fausse.

II

Estimation par intervalle de confiance et intervalle de confiance asymptotique

Remarque

On considère dans ce chapitre `(U_n)_(ninNN^**)` et `(V_n)_(ninNN^**)`, deux suites d'estimateurs de `g(theta)`. telles que `AAthetainRR` et `AAninNN^**`, `P_theta(U_n<=V_n)=1`.

Définition : Intervalle de confiance

`[U_n,V_n]` est un intervalle de confiance de `g(theta)` au niveau de confiance `1-alpha` avec `alphain[0,1]` si :

`AAthetainRR`, `P_theta(U_n<=g(theta)<=V_n)>=1-alpha`

Définition : Intervalle de confiance asymptotique

La suite `(U_n,V_n)_(ninNN^**)` est un intervalle de confiance asymptotique de `g(theta)` au niveau de confiance `1-alpha` si `AAthetainRR`, il existe une suite de réels `(alpha_n)_(ninNN^**)` dans `[0,1]` admettant une limite `alpha` telle que :

`AAninNN^**`, `P_theta(U_n<=g(theta)<=V_n)>=1-alpha_n`