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Chapitre 5 :
Généralité sur les suites réelles et suites usuelles

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Généralité sur les suites réelles et suites usuelles
I

Généralités sur les suites réelles

Définition : Suite réelle

Une suite réelle est une application d'une partie `I` de `NN` dans `RR`. À chaque entier naturel `n` de `I` est associé un réelle `u_n` appelé terme de rang `n` ou d'indice `n` de la suite `u` ou `(u_n)_(ninI)`.

L'ensemble des suites réelles définies sur `RR` s'écrit `RR^(NN)`.

Remarque

Deux modes d'expression d'une suite

Il existe deux modes d'expression d'une suite:

Définition par récurrence avec `f` une fonction définie sur un intervalle `I` avec `f(I)subI` et et `a` un réel . Elle a alors la forme :

  • `u_0=a`

  • `u_(n+1)=f(u_n)`

Définition explicite de la forme avec `f`, fonction définie sur un intervalle de la forme `[a; +oo[` et `a` un réel :

  • `u_n=f(n)`
II

Suites usuelles : formes explicites

A

Suite arithmétique

Définition : Suite arithmétique

Une suite `(u_n)` est arithmétique s'il existe un réel `r` tel que :

`AAninRR`, `u_(n+1)=u_n+r`

`r` est appelé raison de la suite `(u_n)`.

Théorème : Propriétés d'une suite arithmétique

Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison `r` :

Forme explicite :

  • `AAninNN`, `u_n=u_0+nr`

  • `AAinNN`, `AAp in NN`, `u_n=u_p+(n-p)r`

Somme :

  • `AAninNN`, `AAp in NN` avec `p>=n`, `u_n+u_(n+1)+...+u_p=((p-n+1)(u_p+u_n))/2`

  • En particulier, `1+2+...+n=(n(n+1))/2`

Théorème : Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit `u` une suite arithmétique de raison `r` :

  • Si `r>=0` alors la suite `u` est croissante

  • Si `r<=0`, alors la suite `u` est décroissante

  • Si `r=0`, alors la suite `u` est constante

B

Suites géométriques

Définition : Suite géométrique

Une suite `(u_n)` est géométrique s'il existe un réel `q` tel que `AAninNN`, `u_(n+1)=q*u_n`.

`q` est appelé raison de la suite `(u_n)`.

Théorème : Propriétés d'une suite géométrique

Forme explicite :

  • `AAninNN`, `u_n=u_0*q^n`

  • `AAninNN`, `AAp in NN`, `u_n=u_p*q^(n-p)`

Somme avec `q!=0` :

  • `AA(n,p)inNN^2` et `n<=p`, `u_n+u_(n+1)+...+u_p=(1-q^(n+1))/(1-q)`

  • En particulier, `1+q+q^2+...+q^n=(1-q^(n+1))/(1-q)`

Théorème : Sens de variation d'une suite géométrique

Soit `u` une suite géométrique de premier terme `u_0>0` et de raison `q`.

  • Si `0<q<1` alors la suite `u` est décroissante

  • Si `q=1` alors la suite `u` est constante

  • Si `q>1` alors la suite `u` est croissante

  • Si `q<0`, alors la suite `u` n'est ni croissante ni décroissante

C

Suites arithmético-géométriques

Définition : Suite arithmético-géométrique

La suite `u` est arithmético-géométrique s'il existe un nombre réel `ainRR-{0,1}` et `binRR-{0}` tels que :

`AAninNN`, `u_(n+1)=a*u_n+b`

Méthode

Obtenir le terme général d'une suite arithmético-géométrique

Soit `u` une suite arithmético-géométrique définie par :

  • `AAninNN`, `u_(n+1)=a*u_n+b`

  • `a` un réel différent de 0 et de 1

  • `b` un réel non nul.

Alors il existe un nombre réel `alpha` tel que la suite `v` définie par `AAninNN`, `v_n=u_n-alpha` soit une suite géométrique de raison `alpha`.

Le nombre `alpha` est l'unique solution de l'équation `x=ax+b`, appelée point fixe. Résoudre cette équation permet de trouver `alpha` et d'en déduire la forme explicite de `v_n`, puis de `u_n`.

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