Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 6 :
Convergence d'une suite réelle et comportement asymptotique

< Chapitre précédent : Généralité sur les suites réelles et suites usuelles
Convergence d'une suite réelle et comportement asymptotique
I

Convergence d'une suite réelle

Définition : Suite convergente

Une suite `u` est convergente vers une limite réelle `l` si `u_n` est aussi proche que l'on veut de `l` dès que `n` est suffisamment grand. En d'autres termes :

`AAepsilon>0, EEn_0inNN`, tel que `AAn>=n_o`, `|u_n-l|<epsilon`

Définition : Suite divergente et suite divergente vers `+oo`

Une suite divergente est une suite que ne converge pas.

Une suite `u` diverge vers `+oo` (ou `-oo`) si `u_n` est aussi grand (ou aussi petit) que l'on veut dès que `n` est suffisamment grand, ce qui s'écrit :

`AAAinRR`, `EEn_0inNN` tel que `AAn>=n_0`, `u_n>A` (ou `<A`).

Théorème : Limites d'une suite géométrique

Soit `q`un nombre réel. La suite `(q^n)_(ninNN)` :

  • Converge vers 0 si et seulement si `-1<q<1`

  • Converge vers 1 si et seulement si `q=1`

  • Diverge vers `+oo` si e seulement si `q>1`

  • Ne possède pas de limite si `q<-1`

Théorème : Limites et inégalités

Soient `u` et `v` deux suites réels telles que `u_n>=v_n` à partir d'un certain rang. Alors :

  • Si les suites `u` et `v` convergent respectivement vers `l` et `l'` alors `l>=l'`

  • Si la suite `v` diverge vers `+oo` alors `u` diverge vers `+oo`

  • Si la suite `u` diverge vers `-oo` alors `v` diverge vers `-oo`

Théorème : Théorème d'encadrement ou théorème des gendarmes

Soient `u`, `v` et `w` trois suites telles que `u_n<=v_n<=w_n` à partir d'un certain rang. Si les suites `u` et `w` convergent vers une même limite `l`, alors `v` converge aussi vers `l`.

Théorème : Propriété d'une suite convergente

Toute suite convergente est bornée.

Théorème : Théorème de croissance monotone
  • Toute suite croissante et majorée par `M` converge vers une limite `l` avec `l<=M`

  • Toute suite décroissante et minorée par `m` converge vers une limite `l` avec `l>=m`

Théorème : Théorème du point fixe

Soient `I` un intervalle fermé, `f` une fonction et `u` une suite définie par `AAninNN`, `u_(n+1)=f(u_n)` et

  • `f` est continue sur `I`

  • `AAninNN`, `u_ninI`

  • `u` converge

Alors la limite `l` de la suite `u` est solution dans `I` de l'équation `f(x)=x`.

Définition : Suites adjacentes

Les suites `u` et `v` sont adjacentes si :

  • La suite `u` est croissante

  • La suite `v` est décroissante

  • La suite `u-v` converge vers 0

Théorème : Théorème des suites adjacentes

Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.

II

Comportement asymptotique des suites usuelles

Théorème : Croissances comparées
  1. `AAalphainRR^+`, `AAqin]-1,1[`, `lim_(n->+oo)n^alphaq^n->0`

  2. `AAqinRR`, `lim_(n->+oo)q^n/(n!)->0`

  3. `AAalphainRR^+`, `AAbinRR^+`, `lim_(n->+oo)(ln(n))^b/n^alpha->0`

Chapitre suivant : Compléments sur les fonctions usuelles >