Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 7 :
Compléments sur les fonctions usuelles

< Chapitre précédent : Convergence d'une suite réelle et comportement asymptotique
Compléments sur les fonctions usuelles
I

Fonctions polynomiales et polynômes

Définition : Polynôme et degré du polynôme

Un polynôme est une fonction numérique définie sur `K` par :

  • `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(,-1)+...+a_1x+a_0`

  • Avec `a_0, a_1, ..., a_(n-1) `et `a_n`, des réels appelés coefficients du polynôme

Si `a_n!=0`, `n` est le degré du polynôme :

  • On note `deg(P)=n`

  • `a_n` est le coefficient dominant du polynôme

On note `K[X]` l'ensemble des polynômes et `K_n[X]` l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à `n`.

Définition : Polynôme nul

Si tous les coefficients sont nuls, `P` est appelé polynôme nul. Par convention, on note alors `deg(P)=-oo`

Théorème : Unicité des termes d'un polynôme

Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils sont de même degré et leurs coefficients sont égaux deux à deux.

Théorème : Propriété du degré d'un polynôme
  • Le degré d'un polynôme constant non nul est 0

  • `deg(P+Q)<=max(deg(P),deg(Q))`

  • `deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)`

Définition : Racine d'un polynôme

On dit que le réel `a` est racine du polynôme `P` si `P(a)=0`.

Théorème : Racine et factorisation

Soit `P in K[X]` et `ainK`. Le nombre de `a` est racine de `P` d'ordre `rinNN` si et seulement si `P` se factorise par `(x-a)^r`.

Cela revient à dire qu'il existe un polynôme `Q` tel que :

  • `AAx in RR`, `P(x)=(x-a)^rQ(x)`

  • `deg(Q)=deg(P)-r`

II

Logarithme népérien

Remarque

Le logarithme népérien noté `ln` est défini dans l'ensemble des réels strictement positifs.

`e` vaut environ 2,718

Théorème : Propriété du logarithme népérien

Soit `a,b` deux réels strictement positifs.

Propriétés fondamentales

  • `ln(a*b)=ln(a)+ln(b)`

  • `ln(1/a)=-ln(a)`

  • `ln(a/b)=ln(a)-ln(b)`

  • `AAninZ`, `ln(a^n)=nln(a)`

Croissance et bijectivité du logarithme

  • `ln(a)=ln(b) iff a=b`

  • `ln(a)=0 iff a=1`

  • `ln(a)<ln(b) iff a<b`

  • `ln(a)=1 iff a=e`

III

Exponentielle

Théorème : Propriété de la fonction exponentielle

On note la fonction exponentielle `AA x in RR`, `exp(x)` ou `e^x`. Soient `a` et `b` éléments de RR#.

Propriété fondamentale

  • `exp(a+b)=exp(a)*exp(b)`

  • `exp(a-b)=exp(a)/exp(b)`

  • `exp(-a)=1/exp(a)`

  • `AAninZ`, `exp(na)=(expa)^n`

*Croissance et bijectivité de l'exponentielle

  • `exp(a)=exp(b) iff a=b`

  • `exp(a)<exp(b) iff a<b`

  • `exp(a)=1 iff a=0`

Théorème : Exponentielle et logarithme népérien

Pour tout réel `x` et tout réel strictement positif `y` :

  • `e^x=y iff x=ln(y)`

  • `e^(ln(x))=x`

  • `ln(e^x)=x`

Théorème : Puissances réelles d'un nombre strictement positif

Soit `x` un réel strictement positif et `alpha` un réel positif. Alors :

`x^(alpha)=e^(alpha*ln(x))`

Théorème : Propriétés des puissances

Pour tous réels `alpha` et `beta` et tous réels strictement positifs `x` et `y` :

  • `x^alpha*x^beta=x^(alpha+beta)`

  • `x^0=1`

  • `(x*y)^alpha=x^(alpha)*y^(alpha)`

  • `x^(-alpha)=1/x^(alpha)`

  • `(x^alpha)^beta=x^(alpha*beta)`

  • `x^alpha/x^beta=x^(alpha-beta)`

  • `sqrt(x)=x^(1/2)`

  • `1/sqrt(x)=x^(-1/2)`

  • `sqrt(x/y)=sqrt(x)/sqrt(y)`

  • `sqrt(x*y)=sqrt(x)*sqrt(y)`

IV

Valeur absolue

Définition : Valeur absolue

La fonction valeur absolue `x->|x|` est définie sur `RR` par `AA x inRR` :

  • `|x|=x` si `x>=0`

  • `|x|=-x` si `x<0`

Théorème : Propriétés de la valeur absolue

`AA x inRR` :

  • `|x|>=0`

  • `|x|=0 iff x=0`

  • `|x+y|<=|x|+|y|` ( inégalité triangulaire )

  • `|x|=|-x|`

  • `|xy|=|x|*|y|`

  • si `y!=0`, `|x/y|=|x|/|y|`

Par ailleurs :

  • `|x-y|` est la distance sur la droite réelle entre `x` et `y`.

  • Pour `k` réel strictement positif, `|x|<=k` `iff` `-k<=x<=k`

  • `|x+y|!=|x|+|y|` en général

Théorème : Valeur absolue et fonctions usuelles

`AA(x,y)inRR^2` :

  • Si `x*y>0`, alors `ln(x*y)=ln(|x|)+ln(|y|)` et `ln(x/y)=ln(|x|)-ln(|y|)`
  • Si `x!=0`, `ln(x^2)=2ln(|x|)`
  • Si `x*y>0`, alors `sqrt(x*y)=sqrt(|x|)*sqrt(|y|)` et `sqrt(x/y)=sqrt(|x|)/sqrt(|y|)`
  • `sqrt(x^2)=|x|`
V

Partie entière

Définition : Partie entière

La partie entière d'un réel `x`, notée `Ent(x)` ou `|__x__|` est définie par :

`|__x__|=k` `iff` `kinZZ` et `k<=x<k+1`

Théorème : Continuité de la fonction partie entière

La fonction partie entière est continue à droite en tout point de `RR` mais elle n'est pas continue à gauche `AAkinZZ`.

Chapitre suivant : Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle >