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Chapitre 9 :
Limite et continuité d'une fonction en un point

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Limite et continuité d'une fonction en un point
Définition : Limite finie

La fonction `f` admet pour limite `linRR` en `x_0` si `f(x)` est aussi proche que l'ont veut de `l` dès que `x` est suffisamment proche de `x_0`. En d'autres termes :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`

Définition : Limite infinie

`f` possède `+oo` pour limite en `x_0` si :

`AAAinRR`, `EEalpha>0` tel que (`AAx in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `f(x)>=A`.

`f` possède `-oo` pour limite en `x_0` si :

`AAAinRR`, `EEalpha>0` tel que (`AAx in I` et `|x-x_0|<alpha`) `=>` `f(x)<=A`.

Théorème : Unicité de la limite

La limite d'une fonction en un point, en `-oo` ou en `-oo` est unique.

Définition : Limite à gauche et limite à droite

Limite à gauche : mêmes définitions en ajoutant la condition `x<x_0`.

Ainsi, la fonction `f` admet pour limite à gauche `linRR` en `x_0` si :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I`, `|x-x_0|<alpha` et `x<x_0`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`

Limite à droite : mêmes définitions mais en ajoutant la condition `x>x_0`.

Ainsi, la fonction `f` admet pour limite à droite `linRR` en `x_0` si :

`AAepsilon>0`, `EEalpha>0` tel que (`AA x in I`, `|x-x_0|<alpha` et `x>x_0`) `=>` `|f(x)-l|<epsilon`

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