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Chapitre 8 :
Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle

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Étude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle
Définition : Parité des fonctions

`f` est paire si ces deux conditions sont respectées :

  • `AAx in D_f`, `-x in D_f`

  • `x in D_f`, `f(-x)=f(x)`

`f` est impaire si ces deux conditions sont respectées :

  • `AAx in D_f`, `-x in D_f`

  • `x in D_f`, `f(-x)=-f(x)`

Remarque

Parité des fonctions et courbes représentatives :

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

Définition : Fonctions majorées, minorées, bornées

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`.

  • Dire que `f` est majorée par un nombre réel `M` signifie que:
    `x in I`, `f(x)<=M`

  • Dire que `f` est minorée par un nombre réel `m` signifie que:
    `x in I`, `f(x)>=m`

  • Dire que `f` est bornée sur `I` signifie qu'elle est majorée et minorée sur `I`.

Définition : Fonction monotone

Une fonction est monotone sur un intervalle si elle est croissante ou décroissante sur cet intervalle.

Théorème : Théorème de la limite monotone

Soient ]a,b[ un intervalle non vide et `f` une fonction croissante définie sur `]a,b[`. Alors:

  • En tout point `x_0` de `]a,b[`

`f` admet une limite à droite et une limite à gauche notées respectivement `f(x_0^+)` et `f(x_0^-)` avec `f(x_0^-)<=f(x_0)<=f(x_0^+)`.

  • Au point `b`

Si `f` est majorée, elle admet une limite à gauche qui est finie. Sinon, elle tend vers `+oo` en `b`.

  • Au point `a`

Si `f` est minorée, elle admet une limite à droite qui est finie. Sinon, elle tend vers `-oo` en en `a` .

Définition : Continuité sur un intervalle
  • `f` est continue sur `]a,b[` si `f` est continue en tout point de `]a,b[`.

  • `f` est continue sur `[a,b]` si `f` est continue en tout point de `]a,b[`, continue à droite en `a` et continue à gauche en `b`.

Définition : Continuité par morceaux

`f` est continue par morceaux sur `[a,b]` si `f` est continue sur `[a,b]` sauf peut-être en un nombre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à gauche et à droite.

Théorème : Règles de calcul et composition de fonctions continues

La somme, le produit, le quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas), l'exponentielle et le logarithme (si défini) de fonctions continues sur un intervalle `I` sont continues sur `I`.

Si `f` est une fonction continue sur `I` et `g` une fonction continue sur `f(I)` alors `g@f` est continue sur `I`.

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

Si `f` est continue sur un intervalle `]a,b[` alors toute valeur comprise entre `f(a)` et `f(b)` possède au moins un antécédent par `f` dans `[a,b]`.

Théorème : Image d'un intervalle

Si `f` est continue sur un intervalle `I`, alors `f(I)` est un intervalle. Par ailleurs, si `I` est un segment, alors `f(I)` est aussi un segment.

Théorème : Théorème de la bijection

Si `f` est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle `[a,b]` alors réalise une bijection de `[a,b]` dans l'intervalle fermé dont les bornes sont `f(a)` et `f(b)` rangés par ordre croissante.

Définition : Fonction réciproque

Soit `f` une fonction bijective de `I` dans `J`. La fonction réciproque de `f` notée `f^-1` est définie sur `J` par `f^-1(y)=x``x` est l'unique élément de `I` tel que `f(x)=y`.

Théorème : Continuité et sens de variation de la fonction réciproque

Soit `f` une fonction bijective de `I` dans `J`. La fonction réciproque de `f` notée `f^-1` est définie sur `J` par :

`AA x in J`, `f^-1(y)=x``x` est l'unique élément de `I` tel que `f(x)=y`

Par ailleurs :

  • Si `f` est continue et strictement monotone sur `I` alors `f^-1` est continue et strictement monotone de même sens de monotonie que `f`.

  • La courbe représentative de `f^-1` est symétrique à la courbe représentative de `f` par rapport à l'axe des abscisses.

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