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Chapitre 12 :
Calcul différentiel : dérivation, dérivées successives et convexité

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Calcul différentiel : dérivation, dérivées successives et convexité
I

Dérivation

Définition : Dérivabilité en un point

`f`, définie sur `I`, est dite dérivable en `x_0` si `lim_(x=>x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est finie.

La limite est alors appelée nombre dérivé de `f` en `x_0` et notée `f'(x_0)`.

`f` est dérivable en `x_0` signifie aussi qu'il existe un réel `A` et une fonction `epsilon` définie sur `I` tels que :

  • `AAx in I`, `f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+epsilon(x)(x-x_0)`

  • `lim_(x=>x_0)epsilon(x)=0`.

On a alors `A=f'(x_0)`.

Théorème : Tangente de la courbe en un point

Si `f` est dérivable en `x_0`, la courbe représentative de `f` admet une tangente `T` au point d'abscisse `x_0` avec comme équation :

`(T):y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)`

Définition : Dérivées à gauche et à droite

Dérivée à droite

`f` est dérivable à droite en `x_0` si : `lim_(x->x_0^+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est fini.

La limite est alors appelée nombre dérivé à droite de `f` en `x_0` et est notée `f_(d)'(x_0)`.

Dérivée à gauche

`f` est dérivable à gauche en `x_0` si : `lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` existe et est fini.

La limite est alors appelée nombre dérivé à gauche de `f` en `x_0` et est notée `f_(g)'(x_0)`.

Théorème : Fonction dérivable à gauche et dérivable à droite

`f` est dérivable en `x_0` si les limites à gauche et à droite en `x_0`*existent et sont égales.

Définition : Dérivabilité sur un intervalle
  • `f` est dite dérivable sur `]a,b[` si `f` est dérivable en tout point de `]a,b[`.

  • `f` est dite dérivable sur `[a,b]` si `f` est dérivable en tout point de `]a,b[`, à droite en `` et à gauche en `b`.

Définition : Fonction dérivée

Si `f` est dérivable sur un intervalle `I`, on définit la fonction dérivée `f'` par :

`AAx in I`, `f'(x)` est le nombre dérivée de `f` en `x`

Théorème : Opérations et dérivabilité

La somme, le produit, le quotient (si défini), l'exponentielle et le logarithme (si défini) de fonctions dérivables sur un intervalles `I` sont dérivables sur `I`.

Théorème : Composition et dérivabilité

Si `f` est une fonction dérivable sur un intervalle `I` et `g` une fonction continue sur `f(I)` alors `g@f` est dérivable sur `I` et on a :

`AAx in I`, `(g@f)'(x)=g'(f(x))*f'(x)`

Théorème : Dérivée d'une fonction réciproque

Soit `f` une fonction dérivable sur un intervalle `I` et admettant une fonction réciproque `f^-1`. La fonction `f^-1` est dérivable sur `f(I)` et :

`AAyinf(I)`, `g'(y)=1/(f'(g(y))`

Théorème : Inégalité des accroissements finis

Soit `f` une fonction :

  • Continue sur `[a,b]`

  • Dérivable sur `]a,b[`

S'il existe deux réels `m` et `M` tels que `AAx in ]a,b[`, `m<=f'(x)<M`, alors :

`m*(b-a)<=f(b)-f(a)<=M*(b-a)`

S'il existe un réel `C` tel que `AAx in ]a,b[`, `|f'(x)|<=C`, alors :

`|f(b)-f(a)|<=C*|b-a|`

Théorème : Sens de variation

Soit `f` une fonction continue sur `[a,b]` et dérivable sur `]a,b[`.

  • `f` est constante sur `[a,b]` `iff` `AAx in [a,b]`, `f'(x)=0`

  • `f` est décroissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)<=0`

  • `f` est croissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)>=0`

  • `f` est strictement croissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)>0`

  • `f` est strictement décroissante sur `[a,b]` `iff` `AAx in ]a,b[`, `f'(x)<0`

Théorème : Extremum d'une fonction dérivable

Si `f` est dérivable sur `I` et si `f'` s'annule en un point `x_0` de `I` en changeant de signe alors `f` admet un extremum en `x_0`.

II

Dérivées successives

Définition : Fonctions `p` fois dérivables

On dit que la fonction `f` est `p` fois dérivables si `AA k<=p`, `f^(k)` est dérivable, où `f^(k)=(f^(k-1))'`.

Définition : Fonctions de classe `C^p` et `C^(oo)`

Soit `p in NN`. `f` est de classe `C^p` sur `I` signifie que `f` est `p` fois dérivable sur `I` et que `f^(p)` est continue sur `I`.

`f` est de classe `C^(oo)` sur `I` signifie que `f` est dérivable autant de fois que l'on veut sur `I`.

Théorème : Opération sur les fonctions de classe `C^p` ou `C^(oo)`

De la même manière que la continuité et la dérivabilité, l'addition, le produit, le quotient et la composition conservent les caractères `C^p` et `C^(oo)` sur un intervalle.

III

Convexité

Définition : Fonction convexe

Une fonction `f` est convexe sur un intervalle `I` si `AA(x_1,x_2)inI^2` :

`AA(t_1,t_2)in[0,1]^2` tels que `t_1+t_2=1`, `f(t_1x_1+t_2x_2)<=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)`

Graphiquement, la convexité de `f` sur `I` signifie que la courbe représentative de `f` est située au-dessus de ses tangentes en tout point de `I`.

Définition : Fonction concave

Une fonction `f` est concave sur un intervalle `I` si `AA(x_1,x_2)inI^2` :

`AA(t_1,t_2)in[0,1]^2` tels que `t_1+t_2=1`, `f(t_1x_1+t_2x_2)>=t_1f(x_1)+t_2f(x_2)`

Graphiquement, la concavité de `f` sur `I` signifie que la courbe représentative de `f` est située en dessous de ses tangentes en tout point de `I`.

Théorème : Caractérisation des fonctions convexes et concaves

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `I`. Alors :

  • `f` est convexe si et seulement si `f'` est croissante sur `I`

  • `f` est concave si et seulement si `f'` est décroissante sur `I`

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `I`. Alors :

  • `f` est convexe si et seulement si `f''` est positive sur `I`

  • `f` est concave si et seulement si `f''` est négative sur `I`

Définition : Point d'inflexion

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `I`. Si `f^(2)` s'annule en changeant de signe en un point `x_0`, alors le point de la courbe représentative `Cf` de `f` d'abscisse `x_0` est appelée point d'inflexion de `f`.

Graphiquement, un point d'inflexion de `Cf` est un point où la courbe représentative de `f` traverse sa tangente en ce point.

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