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Chapitre 14 :
Intégrales sur un intervalle de type `[a,+oo[`, `]-oo,b]` ou `]-oo,+oo[`

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Intégrales sur un intervalle de type `[a,+oo[`, `]-oo,b]` ou `]-oo,+oo[`
Définition : Intégrale convegente

Soit `f` une fonction définie sur `[a,+oo[` et continue par morceaux. On dit que l'intégrale `int_a^(+oo)f(t)dt` est convergente si la fonction `x->int_a^xf(t)dt` admet une limite finie quand `x` tend vers `+oo`.

On note alors :

`int_a^(+oo)f(t)dt=lim_(x=>+oo)int_a^xf(t)dt`

La linéarité, la positivité et la relation de Chasles des intégrales sont également valables pour les intégrales de type :

  • `int_a^(+oo)f(t)dt`

  • `int_(-oo)^bf(t)dt`

  • `int_(-oo)^(+oo)f(t)dt`.

Théorème : Critères de convergence d'intégrales remarquables
  • `int_0^(1)1/t^(alpha)dt` converge pour `alpha<1` et diverge pour `alpha>=1`.

  • `int_1^(+oo)1/t^(alpha)dt` converge pour `alpha>1` et diverge pour `alpha<=1`.

  • `int_0^(+oo)e^(-alpha*t)dt` converge pour `alpha>0` et diverge pour `alpha<=0`.

Définition : Absolue convergence

Soient `a,b in barRR`. `int_a^bf(t)dt` est dite absolument convergente si l'intégrale `int_a^b|f(t)|dt` est convergente.

Théorème : Absolue convergence et convergence

Une intégrale absolument convergente est convergente.

L'inverse n'est pas vrai en général.

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