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Chapitre 15 :
Séries numériques à termes réels

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Séries numériques à termes réels
I

Définition et convergence

Définition : Série

Soit `(u_n)_(n>=0)` une suite. La série de terme général `u_k` est la suite `S` définie par :

`AAninNN`, `S_n=sum_(k=0)^(n)u_k`

On observe par ailleurs les notations suivantes :

  • La série de terme général `u_k` est est notée `sum_(k>=0)u_k`

  • On appelle `(S_n)` la suite des sommes partielles

Définition : Convergence ou divergence d'une série

On dit que la série `sum_(k>=0)u_k` :

  • Converge si la suite `(S_n)_(n>=0)` converge

  • Diverge si la suite `(S_n)_(n>=0)` diverge

Définition : Somme de série

Soit `sum_(k>=0)u_k` une série convergente. On note `sum_(k=0)^(+oo)u_k` la limite finie de la suite `S` et on l'appelle somme de la série `sum_(k>=0)u_k`.

Définition : Reste d'une série

Soit `sum_(k>=0)u_k` une série convergente. Alors, on appelle reste d'ordre `n` de la série de terme général `u_n` :

`R_n=sum_(k=n+1)^(+oo)u_k`

Théorème : Opération sur les séries

Soit `lambda` un réel et `sum_(k>=0)u_k` et`sum_(k>=0)v_k` deux séries convergentes. Alors :

  • La série `sum_(k>=0)(u_k+v_k)` converge et `sum_(k=0)^(+oo)(u_k+v_k)=sum_(k=0)^(+oo)u_k+sum_(k=0)^(+oo)v_k`.

  • La série `sum_(k>=0)lambda*u_k` converge et `sum_(k=0)^(+oo)lambda*u_k=lambda*sum_(k=0)^(+oo)u_k`.

Définition : Absolue convergence

La série `sum_(k>=0)u_k` est dite absolument convergente signifie que la série `sum_(k>=0)|u_k|` est convergente.

Théorème : Absolue convergence et convergence

Une série absolument convergente est convergente.

L'inverse n'est pas vrai en général.

II

Séries numériques usuelles

Théorème : Séries géométriques

Les séries suivantes convergent si et seulement si `|q|<1`:

  • `sum_(k>=0)q^k`

  • `sum_(k>=)k*q^(k-1)`

  • `sum_(k>=2)k*(k-1)*q^(k-2)`

Dans ce cas :

  • `sum_(k=0)^(+oo)q^k=1/(1-q)`

  • `sum_(k=1)^(+oo)k*q^(k-1)=1/(1-q)^2`

  • `sum_(k=2)^(+oo)k*(k-1)*q^(k-2)=2/(1-q)^3`

Théorème : Série exponentielle

`AAx in RR`, la série `sum_(k>=0)x^k/(k!)` converge et `sum_(k=0)^(+oo)x^k/(k!)=e^x`.

Chapitre suivant : Probabilité : généralisation >

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