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Chapitre 17 :
Lois usuelles discrètes

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Lois usuelles discrètes
I

Lois usuelles : lois discrètes finies

Définition : Loi certaine

Une variable suivant une loi certaine est une loi dont la variance est nulle.

Définition : Loi de Bernoulli

Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi de Bernouilli de paramètre `pin[0,1]` si :

  • `X(Omega)={0,1}`

  • `P(X=1)=p` et `P(X=0)=1-p`

On note `X→B(1,p)` et on a :

  • `E(X)=p`

  • `V(X)=p(1-p)`

Définition : Loi binomiale

Soient `n` un entier naturel non nul et `pin]0,1[`. Une VAR `X` suit une loi binomiale de paramètres `n` et `p` si :

  • `X(Omega)=[[0,n]]`

  • `AAkin[[0,n]]`, `P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)`

On note `X→B(n,p)`. On a également :

  • `E(X)=np`

  • `V(X)=np(1-p)`

Remarque

Application : formule du binôme de Newton

`(a+b)^n=sum_(k=0)^nC_n^ka^(n-k)b^k`

Définition : Loi uniforme sur `[[1,n]]`

Une variable aléatoire réelle `X` suit une loi uniforme sur `[[1,n]]` si :

  • `X(Omega)=[[1,n]]`

  • `AAkin[[1,n]]`, `P(X=k)=1/n`

On note `X→U_([[1,n]])` et on a :

  • `E(X)=(n+1)/2`

  • `V(X)=(n^2-1)/12`

II

Lois usuelles : lois discrètes infinies

Définition : Loi géométrique

Soit `p in ]0,1[`. Une VAR `X` suite une loi géométrique de paramètre `p` si :

  • `X(Omega)=NN^(**)`

  • `kinNN^(**)`, `P(X=k)=p(1-p)^(k-1)`

On note `X->G(p)` et on a :

  • `E(X)=1/p`

  • `V(X)=(1-p)/p^2`

La loi géométrique correspond au rang d'apparition du premier succès dans une série d'expériences de Bernouilli indépendantes les unes des autres.

Définition : Loi de Poisson

Soit `lambda` un réel strictement positif. La VAR `X` suit une loi de Poisson de paramètre `lambda` si :

  • `X(Omega)=NN`

  • `AAkinNN`, `P(X=k)=e^(-lambda)*lambda^k/(k!)`

On note `X->P(lambda)` et on a :

  • `E(X)=lambda`

  • `V(X)=lambda`

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