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Chapitre 1 :
Calcul vectoriel et calcul matriciel

Calcul vectoriel et calcul matriciel
I

Espaces vectoriels réels

Définition : Espace vectoriel

Un ensemble `E` est un espace vectoriel s'il vérifie les propriétés suivantes:

`E` est commutatif :

  • `AA(u,v)inE^2`, `u+vinE`

  • `AA(u,v)inE^2`, `u+v=v+u`

  • `AA(u,v,w)inE^3`, `(u+v)+w=u+(v+w)`

  • `EE0_E` tel que `AAuinE`, `u+0_E=0_E+u=u`

  • `AAuinE`, `EEvinE`, tel que `u+v=v+u=0_E` et on note `v=-u`

L'opération `*` vérifie :

  • `AAlambdainRR`, `AAuinE`, `lambda*uinE`

  • `AA(lambda,nu)inRR^2`, `AAuinE`, `lambda*(nu*u)=(lambda*nu)*u`

  • `AAuinE`, `1*u=u`

  • `(lambda,nu)inRR^2`, `AAuinE`, `(lambda+nu)*u=lambda*u+nu*u`

  • `AAlambdainRR`, `AA(u,v)inE^2`, `lambda*(u+v)=lambda*u+lambda*v`

Définition : Combinaison linéaire

Soit `(v_1, v_2, ..., v_n)`, une famille de vecteurs d'un espace vectoriel `E`. Une combinaison linéaire est un vecteur de la forme :

`sum_(i=1)^nlambda_i*v_i``AAiin[1,n]`,`i` entier, ` `lambda_iinRR#

Définition : Sous-espace vectoriel

Soit `E` un espace vectoriel réel et `F` un ensemble. On dit que `F` est un sous-espace vectoriel de `E` si :

  • `F` est un sous-ensemble de `E`
  • `F` est non vide (`F` contient au moins le vecteur nul)
  • `AA(u,v)inF^2`, `u+vinF`
  • `AAuinF` et `AAlambdainRR`, `lambda*uinF`
Définition : Familles libres

Soit `E` un espace vectoriel réel. Une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est dite libre si :

`EE(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)inRR^n` tels que : `sum_(i=1)^nlambda_i*v_i=0` `iff` `AAiin[1,n]`, `i` entier, `lambda_i=0`

Définition : Famille génératrice

Soit `E` un espace vectoriel réel. Une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est dite génératrice si :

`AAuinE`, `EE(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)` tels que : `u=sum_(i=1)^nlambda_iv_i`

Définition : Base

Soit `E` un espace vectoriel. Une base de`E` est une famille à la fois libre et génératrice de `E`.

En d'autres termes, une famille `(v_1, v_2, ..., v_n)` de vecteurs de `E` est une base de `E` si :

`AAuinE`, `EE!(lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n)` tels que : `u=sum_(i=1)^nlambda_iv_i`

Définition : Bases canoniques

Soit `(n,p)inNN^2`.

  • Base canonique de `RR^n` :

`AAiin[1,n]`, on définit le vecteur `e_i` de `RR^n` par `e_i=(0,0,...,1,...,0)``1` est situé à la `i^(ème)` place. La famille `(e_i)_(1<=i<=n)` est appelée base canonique de `RR^n`.

  • Base canonique de `M_(n,p)(RR)` :

`AA(i,j)in[1,n]xx[1,p]` entiers, on définit la matrice `E_(i,j)` dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la `i^(ème)` ligne et de la `j^(ème)` colonne. La famille `(E_(i,j))_(1<=i<=n, 1<=j<=p)` est appelée base canonique de `M_(n,p)(RR)`.

  • Base canonique de `RR_n[X]` :

La famille `(1, X, X^2, ..., X^n)` est appelée base canonique de `RR_n[X]`.

Définition : Dimension d'un espace vectoriel

Si un espace vectoriel `E` admet une base constituée de `n` vecteurs :

  • Toute autre base de `E` a `n` vecteurs

  • `n` est appelé dimension de `E` et noté `dim(E)`

Théorème : Théorème de la base incomplète

Soit `E` un espace vectoriel de dimension finie `n` et `(e_1, e_2, ..., e_k)` une famille libre de `E`. Alors `EE(e_(k+1),..., e_n)` tels que `(e_1, ..., e_n)` est une base de `E`.

Théorème : Familles libres et familles génératrices de n vecteurs

Dans un espace `E` de dimension `n`, sont des bases :

  • Les familles libres à `n` vecteurs

  • Les familles génératrices à `n` vecteurs

Théorème : Dimension d'un sous-espace vectoriel

Soit `E`un espace vectoriel de dimension finie et `F` un sous-espace vectoriel de `E`. Alors :

  • `F` est un espace vectoriel de dimension finie

  • `dimF<=dimE`

  • `dimF=dimE` `iff` `F=E`

Définition : Sous-espace vectoriel engendré

Soit `E` un espace vectoriel et `B=(u_1, ..., u_n)` une famille de vecteurs de `E`. On note vect`(u_1, ... u_n)` le sous-espace vectoriel de `E` dont la famille `B` est une base et on l'appelle : sous-espace vectoriel engendré par la famille `B`.

Définition : Rang d'une famille de vecteur

Soit `(u_1, ..., u_n)` une famille de vecteurs d'un espace vectoriel `E`. On appelle rang de `(u_1, ..., u_n)` la dimension de vect`(u_1, ..., u_n)`.

Définition : Rang d'une matrice

Le rang d'une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes ou les vecteurs colonnes de la matrice.

Par ailleurs, pour toute matrice `A` : `rg(A)=rg(""^tA)`.

II

Généralités sur les applications linéaires

Définition : Application linéaire

Soit `E` et `F` deux espaces vectoriels réels et `f` une application de `E` vers `F`. `f` est une application linéaire de `E` dans `F` si :

  • `AA(u,v)inE^2` : `f(u+v)=f(u)+f(v)`

  • `AA(u,lambda)inExxRR` : `f(lambda*u)=lambda*f(u)`

Définition : Endomorphisme

Une application linéaire de `E` dans `E` est un endomorphisme de `E`.

Remarque

Applications linéaires et endomorphismes : notation

  • `L(E,F)` est l'ensemble de toutes les applications linéaires de `E` dans `F`.

  • `L(E)` l'ensemble des endomorphismes de `E`

Théorème : Composée d'applications linéaires

Soient, `E,F` et `G` trois espaces vectoriels et `finL(E,F)` et `gin(F,G)`. Alors `g@finL(E,G)`.

Définition : Isomorphisme, automorphisme et application réciproque

Soient `E,F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. Si `f` est bijective :

  • `f` est un isomorphisme de `E` dans `F`

  • `f` admet une application réciproque `f^-1` et `f^(-1)inL(F,E)`

Un isomorphisme de `E` dans `E` est par ailleurs appelé automorphisme de `E`.

Définition : Noyau d'une application linéaire

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. On appelle noyau de `f` et on note `ker(f)` l'ensemble suivant :

`ker(f)={x in E` tel que `f(x)=0_F}`

Définition : Image d'une application linéaire

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels et `finL(E,F)`. On appelle image de `f` et on note `Im(f)` l'ensemble suivant :

`Im(f)={f(x) tel que x in E}`

III

Applications linéaires en dimension finie

Définition : Rang d'une application

On appelle rang de l'application `finL(E,F)` et on on note `rg(f)` la dimension de `Im(f)` si elle existe.

Théorème : Théorème du rang

Soit `finL(E,F)` avec `E` un espace vectoriel de dimension finie et `F` un espace vectoriel quelconque. Alors :

`dim(E)=dim(ker(f))+dim(Im(f))`

Théorème : Surjectivité, injectivité et bijectivité : conséquence du théorème du rang

Soit `finL(E,F)` :

  • `f` est injective si et seulement si `rg(f)=dim(E)`

  • `f` est surjective si et seulement si `rg(f)=dim(F)`

Si `dim(E)=dim(F)`, alors :

`f` est bijective `iff` `f` est surjective `iff` `f` est injective

Définition : Matrice associée à une application

Soient `finL(E,F)`, `E` de dimension `n` et et `F` de dimension `p in NN`. `AAjin[1,p]`, `j` entier on note :

  • `(e_1, ..., e_n)` la base `B_E` de `E`

  • `(f_1, ...,f_n)` la base `F_E` de `F`

  • `(a_(1,j), a_(2,j), ..., a_(n,j))` les coordonnées de `f(e_j)` dans `F_E`

On a donc `f(e_j)=sum_(i=1)^na_(i,j)f_i` et l'on appelle par extension `a_(i,j)` le coordonnée de `f(e_j)` associé au vecteur `f_i`.

On appelle matrice de l'application linéaire `f` relativement aux bases `B_E` et `B_F` la matrice `AinM_(n,p)(RR)``a_(i,j)` est le réel situé sur la `i^(ème)` ligne et la `j^(ème)` colonne.

Théorème : Unicité d'une matrice associée pour une ou deux bases données

Soient `E` et `F` deux espaces vectoriels de dimensions `n` et `p`.

  • L'application qui à toute application linéaire `f` de `L(E,F)` associe sa matrice relative aux bases `B_E` et `B_F` de `E` et `F` est un isomorphisme de `L(E,F)` sur `M_(n,p)(RR)`.

  • L'application qui à tout endomorphisme `f` de `L(E)` associe sa matrice relative à la base `B_E` est un isomorphisme de `L(E)` sur `M_n(RR)`.

Définition : Polynôme annulateur

Soit `finL(E,F)` et `P in RR[K]`. `P` est appelé polynôme annulateur de `f` si `P(f)=0_F`.

Théorème : Polynôme annulateur

Soit `finL(E,F)` et `P in RR[K]`. `P` est appelé polynôme annulateur de `f` si `P(f)=0_F`.

Définition : Matrice de passage

Soient `E` un espace vectoriel et `B_E` et `B'_(E)` deux bases de `E`. On appelle matrice de passage de la base `B_E` dans la base `B'_(E)` la matrice associée à l'application identité de la base `B_E` dans la base `B'_(E)`.

De plus :

  • On note cette matrice : `P_(B_E,B'_E)`

  • On a : `P_(B_E,B'_E)=P_(B'_E,B_E)^-1`

Théorème : Formule de changement de base pour les endomorphismes

Soient :

  • `E` un espace vectoriel de dimension finie

  • `f` un endomorphisme de `E`

  • `B_E` et `B'_E` deux bases de `E`

On appelle `P` la matrice de passage de `B_E` à `B'_E`. Alors :

`M_(B'_E)(f)=P^(-1)M_(B_E)(f)`

Définition : Matrices semblables

Deux matrices carrées `A` et `B` sont dites semblables s'il existe une matrice inversible `P` telle que `B=P^(-1)AP`.

`A` et `B` sont alors les matrices associées à un même endomorphisme dans des bases différentes.

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