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Chapitre 2 :
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
I

Réduction des endomorphismes

Définition : Vecteur propre et valeur propre d'un endomorphisme

Soit `finL(E,F)`. Un réel `lambda` est valeur propre de `f` si il existe `x in E`, tel que :

  • `x!=0_E`

  • `f(x)=lambda*x`

On note alors :

  • `x` le vecteur propre de `f` associé à la valeur propre `lambda`

  • `E_(lambda)` l'ensemble des vecteurs propres associées à la valeur propre `lambda`

`E_(lambda)` est appelé sous-espace propre de `f` associé à `lambda`.

Définition : Spectre d'un endomorphisme

L'ensemble des valeurs propres d'une application `f` est appelé spectre de `f` et noté `Sp(f)`.

Théorème : Propriété sur les valeurs propres d'un endomorphisme
  • Une concaténation de familles libres de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre de `E`.

  • Un endomorphisme d'un espace de dimension `n` admet au plus `n` valeurs propres distinctes.

  • Si `P` est un polynôme annulateur d'un endomorphisme `f`, toute valeur propre de `f` est racine de `P`.

Définition : Endomorphisme diagonalisable

Un endomorphisme `f` de `E` est dit diagonalisable s'il existe une base de `E` formée de vecteurs propres de `f`.

Théorème : Condition suffisante

Tout endomorphisme `f` de `E` de dimension `n` admettant `n` valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Théorème : Condition nécessaire et suffisante

Un endomorphisme `f` d'un espace vectoriel `E` de dimension `n` est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres associés aux valeurs propres de `E` vaut `n`

II

Réduction des matrice carrées

Définition : Valeur propre, vecteur propre et sous-espace propre

Soit `AinM_n(RR)`. On dit que le réel `lambda` est valeur propre de `A` s'il existe `X inM(n,1)(RR)` tel que `X!=0` et `AX=lambda*X`.

On note alors :

  • `X` le vecteur propre associé à la valeur propre `lambda`

  • `E_(lambda)` l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre `lambda`

`E_(lambda)` est appelé sous-espace propre associé à `lambda`.

Théorème : Valeurs propres d'une matrice triangulaire

Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.

Définition : Spectre d'une matrice carrée

L'ensemble des valeurs propres d'une matrice carrée `A` est appelé spectre de `A` et noté `Sp(A)`.

Théorème : Polynôme annulateur et valeur propre

Si `P` est un polynôme annulateur d'une matrice `A`, toute valeur propre de `A` est racine de `P`.

Théorème : Matrice carrée diagonalisable

Une matrice carrée `A` d'ordre `n` est diagonalisable s'il existe une matrice `D` diagonale un une matrice inversible `P` telles que `D=P^(-1)AP`.

Dans ce cas, les colonnes de `P` forment une base de `M_(n,1)(RR)` composée de vecteurs propres de `A`.

Théorème : Condition suffisante

Toute matrice carrée d'ordre `n` admettant `n` valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Théorème : Condition nécessaire et suffisante

Une matrice carrée `A` d'ordre `n` est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres associés aux valeurs propres de `A` vaut `n`.

Théorème : Matrice carrée symétrique

Toute matrice symétrique est diagonalisable.

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