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Chapitre 3 :
Compléments sur les suites et les séries

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Compléments sur les suites et les séries
I

Comparaison de suites réelles

Définition : Suites négligeables

Soient `u` et `v` deux suites réelles. On dit que `u` est négligeable par rapport à `v` au voisinage de `+oo` si `lim_(n->+oo)u_n/v_n=0`.

On note alors `u_n=o(v_n)`.

Définition : Suites équivalentes

Soient `u` et `v` deux suites réelles. On dit que `u` et `v` sont équivalentes au voisinage de `+oo` si `lim_(n->+oo)u_n/v_n=1`.

On note alors `u_n~v_n`.

II

Suites récurrentes du type `u_(n+1)=f(u_n)`

Définition : Point fixe d'une fonction

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`. `x in I` est un point fixe de `f` signifie que `f(x)=x`.

Théorème : Théorème du point fixe

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I` et `u` suite réelle sur `I` définie par `AAninNN`, `u_(n+1)=f(u_n)`.

Si ces deux conditions son réunies :

  • `u` converge vers un réel `l`

  • `f` est continue en `l`

Alors : `f(l)=l`.

III

Compléments sur les séries

Définition : Séries de Riemann

On appelle séries de Riemann les séries de la forme `sum_(n>=1)1/n^(alpha)` avec `alphainRR`.

Théorème : Convergence des séries de Riemann

La série `sum_(n>=1)1/n^(alpha)` si et seulement si `alpha>1`.

Théorème : Comparaison des séries à termes positifs

Soient `u` et `v` des suites réelles à termes positifs ou nuls.

Supposons qu'à partir d'un certain rang, on ait `u_n<=v_n`. Alors :

  • Si `sum_(ninNN)v_n` converge, `sum_(ninNN)u_n` converge.

  • Si `sum_(ninNN)u_n` diverge, `sum_(ninNN)v_n` diverge.

Supposons qu'au voisinage de `+oo`, `u_n=o(v_n)`. Alors :

  • Si `sum_(ninNN)v_n` converge, `sum_(ninNN)u_n` converge.

  • Si `sum_(ninNN)u_n` diverge, `sum_(ninNN)v_n` diverge.

Supposons qu'au voisinage de `+oo`, `u_n~v_n`. Alors :

  • `sum_(ninNN)u_n` converge si et seulement si `sum_(ninNN)v_n` converge
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