Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 4 :
Compléments sur l'étude des fonctions réelles d'une variable réelle

< Chapitre précédent : Compléments sur les suites et les séries
Compléments sur l'étude des fonctions réelles d'une variable réelle
I

Comparaison des fonctions au voisinage d'un point

Définition : Fonctions négligeables

Soient `f` et `g` deux fonctions définies et non nulles au voisinage d'un point `x_0`. On dit que `f` est négligeable par rapport à `g` au voisinage de `x_0` si `lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=0`.

On note alors `f(x)=_(x_0)o(g(x))`.

Définition : Fonctions équivalentes

Soient `f` et `g` deux fonctions définies et non nulles au voisinage d'un point `x_0`. On dit que `f` est équivalent à `g` au voisinage de `x_0` si `lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=1`.

On note alors `f(x)~_(x->x_0)g(x)`

Théorème : Opérations sur les équivalents

Soient `f,g,h` trois fonctions, `x_0` un point de `RR` et `f(x)~_(x->x_0)g(x)`.

  • Si `h(x)!=0` au voisinage de `x_0` : `f(x)h(x)~_(x->x_0)g(x)h(x)`

  • Si `h(x)!=0` au voisinage de `x_0` : `f(x)/(h(x))~_(x->x_0)g(x)/(h(x))`

  • Si `f(x)>0` au voisinage de `x_0` : `AAalphainRR`, `(f(x))^(alpha)~_(x->x_0)(g(x))^(alpha)`.

II

Développements limités

Définition : Développement limité d'ordre 1

Soit `f` une fonction de classe `C^1` définie au voisinage de `x_0inRR`. On dit que `f` admet un développement limité d'ordre 1 en `x_0` s'il existe des réels `(a_0,a_1)inRR^2` tels que :

Au voisinage de `x_0`, `f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+o(x-x_0)`

Définition : Développement limité d'ordre 2

Soit `f` une fonction de classe `C^2` définie au voisinage de `x_oinRR`. On dit que `f` admet un développement limité d'ordre 2 en `x_0` s'il existe des réels `(a_0, a_1,a_2)inRR^3` tels que :

Au voisinage de `x_0`, `f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+o(x-x_0)^2`

Remarque

Si une fonction `f` admet un développement limité au voisinage de `x_0inRR`, ce développement limité est unique.

Théorème : Formule de Taylor-Young

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle réel `I`.

Si `f` est de classe `C^1` sur `I`, alors :

`AAx inI`, `f(x)=x_0f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)`

Si `f` est de classe `C^2` sur `I`, alors :

`AAx inI`, `f(x)=x_0f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f''(x_0))/2(x-x_0)^2+o(x-x_0)^2`

Théorème : Développements limités usuels

Au voisinage de 0 :

  • `e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)`

  • `ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)`

  • `AAalphainRR`, `(1+x)^(alpha)=1+alpha*x+alpha(alpha-1)/2x^2+o(x^2)`

Chapitre suivant : Compléments sur l'intégration généralisée à un intervalle quelconque >