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Chapitre 5 :
Compléments sur l'intégration généralisée à un intervalle quelconque

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Compléments sur l'intégration généralisée à un intervalle quelconque
I

Convergence des intégrales de fonctions positives sur un intervalle de type `[a,+∞[` ou `]−∞,a]`

Théorème : Majoration et convergence

Soit `f` une fonction continue et positive sur un intervalle `[a,+oo[` avec `ainRR`. Alors :

`int_a^(+oo)f(t)dt` converge `iff` `x->int_a^xf(t)dt` est majorée sur `[a,+oo[`.

Théorème : Théorème de comparaison dans le cas positif

Soit `(a,b)inRRxxbar(RR)` et

  • `f` et `g` deux fonctions définies sur `[a,b[`

  • `AAt in [a,b[`, `0<=f(t)<=g(t)`

Alors :

  • Si `int_a^bg(t)dt` converge, `int_a^bf(t)dt` converge

  • Si `int_a^bg(t)dt` diverge, `int_a^bf(t)dt` diverge

Théorème : Équivalence et négligeabilité dans le cas positif

`Soit (a,b)inRRxxbar(RR)`, `f` et `g` deux fonctions définies et continues sur `[a,b[`.

Si au voisinage de `b`, `f(x)=o(g(x))` :

  • Si `int_a^bg(t)dt` converge, `int_a^bf(t)dt` converge

  • Si `int_a^bf(t)dt` diverge, `int_a^bf(t)dt` diverge

Si au voisinage de `b`, `f(x)~g(x)` :

  • Les intégrales `int_a^bf(t)dt` et `int_a^bg(t)dt` sont de même nature
II

Intégrales sur un intervalle de type `[a,b[` ou `]a,b]`

Théorème : Majoration et convergence

Soit `f` une fonction continue et positive sur un intervalle `[a,b[` avec `(a,b)inRR^2` et `a<b`. Alors :

`int_a^bf(t)dt` converge `iff` `lim_(x->b)int_a^xf(t)dt` existe et est finie

Dans ce cas, `int_a^bf(t)dt=lim_(x->b)int_a^xf(t)dt`.

Théorème : Absolue convergence et convergence

Si une intégrale est absolument convergente, alors elle est convergente.

Théorème : Intégrales impropres remarquables

Soit `b` un réel strictement positif.

  • `int_a^b1/(t^alpha)dt` converge si `alpha<1`

  • `int_a^b1/(t^alpha)dt` diverge si `alpha>=1`

  • `int_0^1ln(t)dt` converge

Théorème : Théorème de comparaison dans le cas positif

Soit `(a,b)inRR^2` et :

  • `f` et `g` deux fonctions définies sur `[a,b[`

  • `AAt in [a,b[`, `0<=f(t)<=g(t)`.

Alors :

  • Si `int_a^bg(t)dt` converge, `int_a^bf(t)dt` converge

  • Si `int_a^bg(t)dt` diverge, `int_a^bf(t)dt` diverge

Théorème : Équivalence et négligeabilité dans le cas positif

`Soit (a,b)inRR^2`, `f` et `g` deux fonctions définies et continues sur `[a,b[`:

Si au voisinage de `b`, `f(x)=o(g(x))`:

  • Si `int_a^bg(t)dt` converge, `int_a^bf(t)dt` converge

  • Si `int_a^bf(t)dt` diverge, `int_a^bf(t)dt` diverge

Si au voisinage, de `b`, `f(x)~g(x)`, les intégrales `int_a^bf(t)dt` et `int_a^bg(t)dt` sont de même nature.

III

Extension au cas de fonctions ayant un nombre fini de points de discontinuité sur un intervalle I

Remarque

Technique de calcul

Les techniques de changement de variable et d'intégration par partie ne sont pas directement applicables dans le cas d'intégrales de la forme :

  • `int_a^(+oo)f(t)dt`

  • `int_(-oo)^af(t)dt`

  • `int_(-oo)^(+oo)f(t)dt`

On préférera les appliquer à des intégrales de la forme `int_A^Bf(t)dt` et faire tendre `A` et `B` vers les bornes infinies souhaitées une fois le changement de variable et l'intégration par parties terminés.

Seuls les changements de variables affines peuvent être appliquées sur des intégrales de ce type.

Théorème : Linéarité, relation de Chasles et positivité

La linéarité, la relation de Chasles et la positivité restent valables pour les intégrales du type :

  • `int_a^(+oo)f(t)dt`

  • `int_(-oo)^af(t)dt`

  • `int_(-oo)^(+oo)f(t)dt`

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