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Chapitre 6 :
Couples de variables aléatoires discrètes

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Couples de variables aléatoires discrètes
Définition : Loi de probabilité d'un couple de variables aléatoires discrètes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes. On appelle loi du couple de variables aléatoires `(X,Y)` ou loi conjointe des variables aléatoires `X` et `Y` l'ensemble :

`{(x,y)inX(Omega)xxY(Omega), P(X=x,Y=y)}`

Définition : Loi marginale d'un couple de variables aléatoires

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires. On appelle lois marginales du couple `(X,Y)` la loi de `X` et la loi de `Y`.

Définition : Loi conditionnelle d'un couple de variables aléatoires

Soient `(X,Y)` un couple de variables aléatoires et `yinY(Omega)` tel que `P(Y=y)!=0`. On appelle loi conditionnelle de `X` relativement à l'événement `[Y=y]` l'ensemble :

`{x in X(Omega), P_([Y=x])(X=x)}`

Théorème : Loi d'une variable fonction de deux variables aléatoires discrètes

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires discrètes et

  • `g` une fonction définie sur l'ensemble des valeurs prises par le couple `(X,Y)`

  • `Z` la variable aléatoire définie par `Z=g(X,Y)`

Alors :

`P(Z=z)=sum_((x,y)inX(Omega)*Y(Omega), g(x,y)=z)P(X=xnnY=y)`

Théorème : Théorème de transfert

Soit `(X,Y)` un couple de variables aléatoires discrètes, `g` une fonction définie sur l'ensemble des valeurs prises par le couple `(X,Y)`.

Si `sum_((x,y)inX(Omega)xxY(Omega))g(x,y)P([X=x]nn[Y=y])` converge absolument, alors :

`E(g(X,Y))=sum_((x,y)inX(Omega)xxY(Omega))g(x,y)P([X=x]nn[Y=y])`

Théorème : Linéarité de l'espérance

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance et `a` un réel quelconque. Alors :

`E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)`

Définition : Indépendance de deux variables aléatoires

Deux variables aléatoires discrètes `X` et `Y` sont indépendantes si et seulement si :

`AA(x,y)inX(Omega)xxY(Omega)`, `P([X=x]nn[Y=y])=P(X=x)P(Y=y)`

Théorème : Produit de l'espérance de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant une espérance. Alors :

`E(XY)=E(X)*E(Y)`

Définition : Loi de maximum et loi de minimum d'un couple de variables aléatoires discrètes

Soient `(X,Y)` deux variables aléatoires réelles discrètes. On appelle :

  • Loi du maximum du couple `(X,Y)` la loi de la variable `T=max(X,Y)`

  • Loi minimum du couple `(X,Y)` la loi de la variable `U=min(X,Y)`

On a alors `(T(Omega),U(Omega))subX(Omega)uuY(Omega)` et :

  • `AAtinT(Omega)`, `P(T=t)=P([X=t]nn[Y<t])+P([Y=t]nn[X<=t]`)

  • `AAuinU(Omega)`, `P(U=u)=P([X=u]nn[Y>t])+P([Y=u]nn[X>=t]`)

Théorème : Stabilité des lois de Poisson

Soient `X` et `Y`, deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois de Poisson de paramètres `lambda_1` et `lambda_2`.

Alors la variable aléatoire `X+Y` suit la loi de Poisson de paramètre `lambda_1+lambda_2`.

Théorème : Stabilité des loi binomiales

Soient `X` et `Y`, deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois binomiales de paramètres `(m,p)` et `(n,p)`.

Alors la variable aléatoire `X+Y` suit la loi binomiale de paramètres `(m+n,p)`.

Définition : Covariance

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre2. On appelle covariance de `X` et `Y` :

`cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]`

Théorème : Propriétés de la covariance

Soient `X,Y,Z` trois variables aléatoires admettant un moment d'ordre 2 et `(a,b)inRR^2`.

  • `cov(aX+bY,Z)=acov(A,Z)+bcov(Y,Z)`

  • `cov(X, aY+bZ)=acov(X,Y)+b(cov(X,Z)`

  • `cov(X,Y)=cov(Y,X)`

  • `AAx in RR`, `cov(X,x)=0`

Théorème : Formule de Huygens

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`conv(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)`.

Conséquence : si `X` et `Y` sont indépendantes, `cov(X,Y)=0`, mais la réciproque est fausse.

Définition : Coefficient de corrélation linéaire

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment une covariance et d'écart-type non nul. On appelle coefficient de corrélation de `X` et `Y` :

`rho(X,Y)=(cov(X,Y))/(sigma(X)*sigma(Y)`

Théorème : Propriétés du coefficient de corrélation linéaire
  • `|rho(X,Y)|<=1`

  • Si `rho(X,Y)=0`, les variables `X` et `Y` ne sont pas corrélées

  • Si `rho(X,Y)>0`, les variables `X` et `Y` sont corrélées positivement (`Y` a tendance à augmenter quand `X` augmente et réciproquement)

  • Si `rho(X,Y)<0`, les variables `X` et `Y` sont corrélées négativement (`Y` a tendance à diminuer quand `X` augmente et réciproquement)

Théorème : Variance de la somme deux variables aléatoires réelles discrètes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre 2.

Alors : `V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y)`

Théorème : Variance de la somme deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant un moment d'ordre 2.

Alors : `V(X+Y)=V(X)+V(Y)`

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