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Chapitre 7 :
Suites de variables aléatoires discrètes

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Suites de variables aléatoires discrètes
Définition : Indépendance mutuelle

Soient `(X_i)_(iin(⟦1,n⟧)` `n` variables aléatoires. On dit que les variables `(X_i)_(iin(⟦1,n⟧)` sont mutuellement indépendantes si :

`AA(x_1, x_2, ..., x_n)inRR^n`, `F_(X_1,...,X_n)(x_1,...,x_n)=prod_(i=1)^nF_(X_i)(x_i)`

Théorème : Lemme des coalitions

Soient `(X_i)_(iin⟦1,n⟧` une suite de variables aléatoires réelles discrètes indépendantes et `p in NN`, `p<n`.

Alors tout variable fonction de `X_1, X_2, ..., X_p` est indépendante de toute variable aléatoire fonction de `X_(p+1), ..., X_n`.

Théorème : Espérance d'unes somme de variable aléatoires discrètes

Soit `(X_i)`(`iin[1,n]`, `i` entier) une suite de variable aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant une espérance. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une espérance

  • `E(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nE(X_i)`

Théorème : Variance d'une somme de variables aléatoires discrètes

Soit `(X_i)`(`iin[1,n]`, `i` entier), une suite de variable aléatoires réelles discrètes indépendantes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une variance

  • `V(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nV(X_i)+2sum_(1<=i<j<=n)cov(X_i,Y_j)`

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